Dada una matriz singular (cuadrada) [matemática] A [/ matemática], que no es nula, ¿cómo podría encontrarse una matriz cuadrada [matemática] B [/ matemática], que nuevamente no es nula, de modo que el producto matricial [matemática ] AB [/ math] da la matriz nula?

Answer 1

Aquí hay otra forma. Si [math] A [/ math] es una matriz singular (por ejemplo, de orden [math] n [/ math]), entonces el polinomio característico [math] p (x) = \ det (xI – A) [/ math ] no contiene un término constante, por lo que tiene la forma [matemática] p (x) = x ^ kq (x) [/ matemática], donde [matemática] 1 \ le k \ le n [/ matemática] y [matemática] q (x) [/ math] es un polinomio de grado [math] n – k [/ math].

Según el teorema de Cayley-Hamilton, [matemática] p (A) = 0 [/ matemática], la matriz nula. Así,

[matemáticas] A ^ kq (A) = 0 [/ matemáticas],

que se puede escribir como

[matemática] A \ left (A ^ {k-1} q (A) \ right) = 0 [/ math].

Si [matemática] A ^ {k-1} q (A) [/ matemática] no es nula, entonces esa es la [matemática] B [/ matemática] requerida. De lo contrario, tenemos

[matemáticas] A ^ {k-1} q (A) = 0 [/ matemáticas],

que se puede escribir como

[matemática] A \ left (A ^ {k-2} q (A) \ right) = 0 [/ math],

de modo que si [math] A ^ {k-2} q (A) [/ math] no es nulo, es [math] B [/ math]. De lo contrario, proceda de manera similar, para obtener finalmente una [matemática] B = A ^ {k – r} q (A) [/ matemática] tal que [matemática] AB = 0 [/ matemática].

Nota: Lo que realmente encuentra mediante este procedimiento es el polinomio mínimo de [matemáticas] A [/ matemáticas], que contiene [matemáticas] x [/ matemáticas] como factor (ya que [matemáticas] A [/ matemáticas] es singular) . Como es mínimo, se garantiza que si elimina una [matemática] x [/ matemática] y la sustituye [matemática] A [/ matemática] en ella, obtendrá una [matemática] B [/ matemática] no nula.

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Permítanme robar la matriz en la respuesta de Gram Zeppi, para demostrar cómo funciona esto.

[matemáticas] A = \ begin {bmatrix} 1 y -2 y -1 \\ 0 y 0 y 0 \\ – 1 y 2 y 1 \ end {bmatrix} [/ matemáticas]

El polinomio característico es [matemática] p (x) = \ det (xI – A) = x ^ 3 – 2x ^ 2 [/ matemática], entonces

[matemáticas] A ^ 3 – 2A ^ 2 = 0 [/ matemáticas].

Retire una [matemática] A [/ matemática] para obtener [matemática] A ^ 2 – 2A [/ matemática], y verifique si es la matriz nula. Lo es, así que elimine uno más [matemática] A [/ matemática] para obtener [matemática] A – 2I [/ matemática], que definitivamente no es la matriz nula. Por lo tanto, la segunda matriz requerida es

[matemática] B = \ begin {bmatrix} -1 & -2 & -1 \\ 0 & -2 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \ end {bmatrix} [/ math]

y de hecho, [matemáticas] AB = 0 [/ matemáticas].

Para generar más matrices de este tipo, puede realizar operaciones de columna en [math] B [/ math] (de tal manera que no obtenga una matriz nula). Un ejemplo simple es multiplicar las columnas de [matemáticas] B [/ matemáticas] con constantes, para obtener

[matemática] C = \ begin {bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & -2 & 3 \ end {bmatrix} [/ math]

y vemos que [math] AC = 0 [/ math] también.

Answer 2

Gracias por A2A, Paul.

Dado que [math] A [/ math] es singular, existe un [math] \ mathrm {Ker} \ no trivial; A = \ {x \ in \ mathbf {R} ^ n: Ax = 0 \}. [/ Math]

La imagen de [math] B [/ math], [math] \ mathrm {Im} \; B [/ math], (o más precisamente, de la multiplicación de matrices por [math] B [/ math], es decir, [math] x \ mapsto Bx [/ math]) se extiende por las columnas de [math] B [/ math ]

Ambos [math] \ mathrm {Ker} \; A [/ math] y [math] \ mathrm {Im} \; B [/ math] son ​​espacios vectoriales; Esto implica que podemos verificar algunas “propiedades lineales” en sus bases.

Desea tener que [math] 0 \ neq \ mathrm {Im} \; B \ subconjunto \ mathrm {Ker} \; A [/ math].

Significa lo siguiente en términos más prácticos:

1) Encuentre vectores arbitrarios no triviales tales como [math] Ax = 0 [/ math] (es decir, elementos de [math] \ mathrm {Ker} \; A [/ math]).

2) Escríbalos (o sus combinaciones lineales arbitrarias) en las columnas de [matemáticas] B [/ matemáticas]. Entonces obtienes el resultado deseado [matemáticas] AB = 0 [/ matemáticas].

Ejemplo :

[matemáticas] A = \ begin {pmatrix}
1 y -2 y -1 \\
0 y 0 y 0 \\
-1 y 2 y 1 \\
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]

Tenga en cuenta que agregar las 2 * primeras columnas a la segunda columna le da [math] \ mathbf {0} [/ math]. Del mismo modo, restando de la segunda columna dos terceras columnas le da [math] \ mathbf {0} [/ math] también.

Es decir, [matemáticas] \ begin {pmatrix}
1 y -2 y -1 \\
0 y 0 y 0 \\
-1 y 2 y 1 \\
\ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ begin {pmatrix}
1 y -2 y -1 \\
0 y 0 y 0 \\
-1 y 2 y 1 \\
\ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ – 2 \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math]

Significa que [math] \ mathrm {Ker} \; A [/ math] se extiende por vectores

[matemáticas] \ begin {pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix} [/ math] y [math] \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \\ – 2 \ end {pmatrix}. [/ math ]

Ahora construye [math] B [/ math] de modo que [math] \ mathrm {Im} \; B \ subconjunto \ mathrm {Ker} \; A [/ matemáticas].

Significa solo que usted escribe en columnas de [math] B [/ math] vectores arbitrarios de [math] \ mathrm {Ker} \; A [/ math] (pero no todos cero al mismo tiempo).

Por ejemplo:

[matemáticas] B_1 = \ begin {pmatrix}
2 y 0 y 0 \\
1 y 0 y 1 \\
0 y 0 y -2 \\
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]

[matemáticas] B_2 = \ begin {pmatrix}
0 y 0 y 0 \\
2 y 0 y 0 \\
-4 y 0 y 0 \\
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]

[matemáticas] B_3 = \ begin {pmatrix}
2 y 0 y 2 \\
1 y 1 y 2 \\
0 y -2 y -2 \\
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]

y así sucesivamente (de hecho, las dimensiones del espacio vectorial de las matrices que satisfacen esta condición son [matemáticas] 6 [/ matemáticas] en este ejemplo, es decir, hay muchas).

Answer 3

Si [math] A [/ math] es singular, entonces uno de sus valores propios es cero. Entonces, primero encuentre una base de vectores propios del valor propio cero en [math] A [/ math]. Luego construya la matriz [matemática] B [/ matemática] de modo que sus columnas estén en este espacio propio cero (llamado espacio nulo ).

Por ejemplo: Let [math] A = \ begin {pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 2 \ end {pmatrix} [/ math]

Una base para el espacio nulo de [math] A [/ math] es [math] \ left \ {\ begin {pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \ end {pmatrix}, \ begin {pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \ end {pmatrix} \ right \} [/ math].

Luego prueba alguna matriz como

[matemáticas] B = \ begin {pmatrix} -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] B = \ begin {pmatrix} -1 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & -1 \\ -1 & 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math]
[matemática] B = \ begin {pmatrix} 3 & 2 & 1 \\ -3 & 0 & -3 \\ 0 & -2 & 2 \ end {pmatrix} [/ math]

etc.

Answer 4

Deje que estas matrices sean matrices [matemáticas] n \ veces n [/ matemáticas]. [math] A [/ math] es una matriz singular, por lo que hay algún vector distinto de cero [math] \ mathbf v = \ begin {bmatrix} v_1 \\\ vdots \\ v_n \ end {bmatrix} [/ math] de modo que [math] A \ mathbf v = \ mathbf0. [/ math] Si puede encontrar una matriz [math] B [/ math] que mapee vectores a múltiplos de [math] \ mathbf v, [/ math] entonces [math] AB [/ math] será la matriz cero. Puedes hacer eso con la matriz

[Matemáticas] B = \ begin {bmatrix} v_1 & 0 & \ cdots & 0 \\ v_2 & 0 & \ cdots & 0 \\\ vdots && \ ddots \\ v_n & 0 & \ cdots & 0 \ end {bmatrix} [/ math]