Bueno, probablemente hay muchas formas de responder esto.
Determinemos la matriz del proyector [matemática] P [/ matemática] en la base canónica.
Como es un proyector, debe actuar como una identidad en [matemáticas] M [/ matemáticas] y como el mapa cero en [matemáticas] N [/ matemáticas].
Una base de [math] M [/ math] se le da la tupla que contiene un vector [math] \ left (\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix} \ right) [/ math].
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Una base de [math] N [/ math] viene dada por [math] \ left (\ begin {pmatrix} 1 \\ -2 \ end {pmatrix} \ right) [/ math].
Es decir, [math] P [/ math] mapas:
[matemáticas] e_1 + e_2 \ mapsto e_1 + e_1 [/ matemáticas]
[matemática] e_1 -2e_2 \ mapsto 0 [/ matemática]
Haciendo un poco de álgebra fácil, ves que
[matemáticas] e_1 \ mapsto \ frac {2e_1 + 2e_2} {3} [/ matemáticas]
[matemáticas] e_2 \ mapsto \ frac {e_1 + e_2} {3} [/ matemáticas]
Por lo tanto, la matriz del proyector en la base canónica está dada por
[matemáticas] \ begin {pmatrix}
\ frac {2} {3} y \ frac {1} {3} \\
\ frac {2} {3} y \ frac {1} {3}
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
Luego calcule la proyección [matemáticas] \ begin {pmatrix}
\ frac {2} {3} y \ frac {1} {3} \\
\ frac {2} {3} y \ frac {1} {3}
\ end {pmatrix} \ cdot \ begin {pmatrix}
1 \\
2
\ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix}
\ frac {4} {3} \\
\ frac {4} {3}
\ end {pmatrix}
[/matemáticas]
Aquí hay otra solución.
Escriba el vector [math] \ begin {pmatrix} 1 \\ 2 \ end {pmatrix} [/ math] en base a [math] M [/ math] y [math] N [/ math].
Es decir, encuentre [math] \ alpha, \ beta \ in \ mathbf {Q} [/ math] tal que
[matemáticas] \ begin {pmatrix}
1 \\
2
\ end {pmatrix} = \ alpha \ cdot \ begin {pmatrix}
1 \\
1
\ end {pmatrix} + \ beta \ cdot \ begin {pmatrix}
1 \\
-2
\ end {pmatrix} [/ math]
Al resolver esto, obtienes [math] \ alpha = \ frac {4} {3}, \ beta = – \ frac {1} {3} [/ math].
Ahora descarte la parte [matemática] N [/ matemática], es decir, establezca [matemática] \ beta = 0 [/ matemática], y obtendrá la respuesta.
Probablemente te guste más la segunda solución o, para ser precisos, la odias menos. Ya que el segundo es más simple.
Pero la primera solución es mejor, ya que calcular un proyector una vez que no necesita repetir los cálculos mientras busca proyecciones para los otros vectores.