Si [math] A ^ 3 x = b [/ math] es consistente, esto significa que existe algún vector [math] x_0 [/ math] tal que [math] A ^ 3 x_0 = b [/ math]. Poner [matemáticas] x_1 = A ^ 2 x_0 [/ matemáticas]. Entonces
[matemáticas] A x_1 = A (A ^ 2 x_0) = A ^ 3 x_0 = b [/ matemáticas],
entonces el sistema [math] Ax = b [/ math] tiene una solución y por lo tanto también es consistente.
Un principio más interesante (con la misma prueba) es el siguiente: si [math] (AB) x = b [/ math] es consistente, entonces [math] Ax = b [/ math] es consistente. O, en el lenguaje de las transformaciones lineales, si un vector está en la imagen de una composición de transformaciones lineales, entonces debe estar en la imagen de la segunda transformación. Este último punto de vista es definitivamente el preferido, y hace que el resultado sea muy fácil una vez que comprenda el diccionario entre matrices y transformaciones lineales.