Bueno, si [math] A \ in \ mathrm {GL_n} (\ mathbf {C}) [/ math] (una matriz invertible), esto es bastante sencillo.
Entonces [math] \ mathrm {adj} ~ {A} \ in \ mathrm {GL_n} (\ mathbf {C}) [/ math] también.
Tenemos:
[matemática] \ mathrm {adj} (\ mathrm {adj} ~ A) = \ det (\ mathrm {adj} ~ A) \ cdot (\ mathrm {adj} A) ^ {- 1} = \ det \ bigl ( \ det (A) A ^ {- 1} \ bigr) \ bigl (\ det (A) A ^ {- 1} \ bigr) ^ {- 1} = (\ det \, A) ^ {n} \ det (A ^ {- 1}) \ det (A) ^ {- 1} \ left (A ^ {- 1} \ right) {^ {- 1}} = \ left (\ det \, A \ right) ^ {n-2} A. [/ matemáticas]
Si [math] A [/ math] no es invertible (es decir, [math] \ det A = 0 [/ math]), observamos que las expresiones [math] A \ mapsto \ mathrm {adj} (\ mathrm {adj} ~ (A)) [/ math] y [math] A \ mapsto (\ mathrm {det} ~ A) ^ {n-2} A [/ math] define dos funciones continuas [math] \ mathbf {C} ^ { n ^ 2} \ to \ mathbf {C} ^ {n ^ 2} [/ math] que coinciden en el conjunto de matrices invertibles.
Como [math] \ mathrm {GL_n} [/ math] se encuentra denso en el espacio de todas las matrices en la topología estándar, se deduce que deben coincidir en todas partes.
En particular, este argumento funciona sobre un campo arbitrario, si tomamos en lugar de la topología estándar en [math] \ mathbf {C} ^ {n ^ 2} [/ math] topología de Zariski.
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- Cómo determinar la proyección del vector [matemática] v = (1,2) [/ matemática] en el subespacio [matemática] M = \ left \ {(x, y): x – y = 0 \ right \} [ / math] a lo largo del subespacio [math] N = \ left \ {(x, y): 2x + y = 0 \ right \} [/ math]
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Si no le gusta, puede considerar una pequeña perturbación de [matemática] A [/ matemática], [matemática] A + \ epsilon I [/ matemática] que es invertible para suficientemente pequeña [matemática] \ epsilon> 0 [/matemáticas].
Por lo tanto, contiene [math] \ mathrm {adj} (\ mathrm {adj} (A + \ epsilon I)) = (\ mathrm {det} (A + \ epsilon I)) ^ {n-2} \ cdot ( A + \ epsilon I) [/ matemáticas].
Y dado que ambas funciones son continuas en [math] \ epsilon [/ math], y la igualdad es válida para [math] \ epsilon> 0, [/ math] concluimos que es válida para [math] \ epsilon = 0 [/ math ] también.
Tenga en cuenta que la situación [matemáticas] \ det A = 0 [/ matemáticas] es bastante interesante
ya que tenemos [math] \ mathrm {adj} ~ (\ mathrm {adj} ~ (A)) = \ begin {cases} A \ text {if} n = 2 \\
\ mathbf {0}, \ text {if} n> 2 \ end {cases} [/ math].