¿La aplicación especial del producto cruzado en 3 dimensiones indica algo especial sobre el espacio tridimensional?

Answer 1

No haría una religión del producto cruzado.

De hecho, si aprendió algo sobre los productos de cuña y el álgebra exterior, sabría que para un espacio vectorial de dimensión finita (digamos real) [matemática] V [/ matemática] de dimensión [matemática] n [/ matemática] hay una fácil forma de identificar [matemáticas] \ wedge ^ n (V) [/ matemáticas] con números reales.

Es decir, si tiene [math] v_1 \ wedge v_2 \ ldots \ wedge v_n \ in \ wedge ^ n (V) [/ math] donde [math] v_1, v_2, v_n \ in \ mathbf {R} ^ n [ / math] puede enviarlos al volumen que abarcan, es decir, a [math] \ mathrm {det} (v_1, v_2, …, v_n) [/ math].

Del mismo modo, siempre tiene un emparejamiento: [math] \ left (\ wedge ^ i (V), \ wedge ^ {ni} (V) \ right) \ to \ mathbf {R} [/ math] dado por [math] ( v_1 \ wedge v_2 \ ldots \ wedge v_i, v_ {i + 1} \ wedge v_ {i + 2} \ ldots \ wedge v_n) \ mapsto [/ math] [math] \ mathrm {det} (v_1, v_2, \ ldots, v_n) [/ math].

Este emparejamiento da lugar a un isomorfismo natural entre [matemática] \ wedge ^ i (V) [/ math] y [math] \ wedge ^ {ni} (V) [/ math] (en realidad es dual pero no lo hace) juega un papel importante aquí).

Esa es exactamente una construcción que se utiliza por definición del llamado producto cruzado para [matemática] n = 3 [/ matemática] y [matemática] i = 2 [/ matemática]: puede asignar un par de vectores en [matemática] V [/ math] un vector en [math] V [/ math] de una manera muy agradable.

En la dimensión 4, puede tomar tres vectores y asignarles un vector de la misma manera, y con el crecimiento de [math] n [/ math] hay aún más posibilidades.

Una conclusión es que tales mapas existen en espacios vectoriales de dimensiones superiores y no hay nada sagrado en [math] \ mathbf {R} ^ 3 [/ math] al menos desde la perspectiva del álgebra lineal o multilineal.

Answer 2

Si lo que está buscando es un vector ortogonal, puede expandir el método determinante a tantas dimensiones como desee utilizando n -1 vectores donde n es la dimensión del espacio.

[matemáticas] \ begin {vmatrix} \ hat {x} & \ hat {y} \\ x & y \ end {vmatrix} = (y, -x) [/ math]

Sin embargo, si está buscando una operación de multiplicación en su espacio vectorial, entonces el espacio tridimensional es especial porque es el único espacio donde existe un producto cruzado que es una operación binaria; en espacios de diferentes tamaños, un producto cruzado que acepte dos entradas no generará un solo vector (porque el espacio de los vectores perpendiculares no será unidimensional) y un producto cruzado que genere un solo vector requerirá cierto número de vectores que No son dos.

Lo único especial del espacio tridimensional es que 3 menos 2 es igual a 1 *, lo que significa que, según el párrafo anterior, puede construir un operador binario que convierta dos entradas ortogonales en una salida ortogonal única (hasta escala).

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* Como otro agradable accidente, el espacio tridimensional tiene una buena relación con los cuaterniones, sobre el cual puede leer más en ¿Por qué el producto cruzado existe solo en tres y siete dimensiones?