¿Cuál es la matriz de transición de un triángulo de Pascal?

Answer 1

Considere la definición del triángulo de un pascal:

Donde [math] n [/ math] y [math] k [/ math] representan la fila y la columna (ambas indexadas en 0),

[matemáticas] P (n, k \ leq n) = \ begin {cases}
1 & \ text {if} k \ in \ {0, n \} \\
P (n-1, k-1) + P (n-1, k) y \ text {de lo contrario}
\ end {cases} [/ math]

De manera equivalente, dado que [math] \ forall n, P (n, 1) = P (n, k) = 1 [/ math], podemos escribir

[matemáticas] P (n, k \ leq n) = \ begin {cases}
P (n-1, k) & \ text {if} k = 1 \\
P (n-1, k-1) & \ text {if} k = n \\
P (n-1, k-1) + P (n-1, k) y \ text {de lo contrario}
\ end {cases} [/ math]

Como cada elemento de cada fila se convierte en una suma ponderada de elementos en la fila anterior, esto puede reescribirse como una operación matricial. Haré las primeras filas como ejemplo,

[matemáticas] \ begin {pmatrix}
1 \\
1
\ end {pmatrix}
\ begin {pmatrix}
1
\ end {pmatrix} =
\ begin {pmatrix}
1 \\
1
\ end {pmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ begin {pmatrix}
1 y 0 \\
1 y 1 \\
0 y 1
\ end {pmatrix}
\ begin {pmatrix}
1 \\
1
\ end {pmatrix} =
\ begin {pmatrix}
1 = 1 + 0 \\
2 = 1 + 1 \\
1 = 0 + 1
\ end {pmatrix} [/ math]

[matemáticas] \ begin {pmatrix}
1 y 0 y 0 \\
1 y 1 y 0 \\
0 y 1 y 1 \\
0 y 0 y 1 \\
\ end {pmatrix}
\ begin {pmatrix}
1 \\
2 \\
1
\ end {pmatrix} =
\ begin {pmatrix}
1 = 1 + 0 + 0 \\
3 = 1 + 2 + 0 \\
3 = 0 + 2 + 1 \\
1 = 0 + 0 + 1
\ end {pmatrix} [/ math]

Etcétera….

Generalizando el patrón, tenemos

[matemáticas] A_N (N \ veces N-1), (a_N) _ {rc} = \ begin {cases}
1 \ text {if} r \ in \ {c, c + 1 \} \\
0 \ text {de lo contrario}
\ end {cases} [/ math],

donde [math] (A_N) (P_ {N-1}) = P_N [/ math], la fila [math] N [/ math] th del triángulo de Pascal como un vector.