¿Qué significa físicamente el determinante de una matriz? ¿Cómo lo visualizo?

Answer 1

Se puede dar una interpretación geométrica al valor del determinante de una matriz cuadrada con entradas reales: el valor absoluto del determinante da el factor de escala por el cual el área o volumen (o un análogo de mayor dimensión) se multiplica bajo la transformación lineal asociada , mientras que su signo indica si la transformación conserva la orientación. Por lo tanto, una matriz de 2 × 2 con determinante −2, cuando se aplica a una región del plano con área finita, transformará esa región en una con el doble del área, mientras invierte su orientación.
Cortesía: Wikipedia.

Significado físico del determinante en 2D

En 2D, el determinante de una matriz, [matemáticas] \ begin {bmatrix} a_1 & a_2 \\
b_1 y b_2 \\
\ end {bmatrix} [/ math] es un indicador de si los vectores (a1, a2) y (b1, b2) son colineales o no. Si el determinante es cero, indica que los dos vectores son colineales.
El determinante anterior se puede escribir como [math] \ vec {A}. [/ Math] [math] \ begin {bmatrix} 0 & -1 \\
1 y 0 \\
\ end {bmatrix} [/ math] [math] \ vec {B} [/ math].
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 0 y -1 \\
1 y 0 \\
\ end {bmatrix} [/ math] es una matriz que gira 90 grados en sentido antihorario.

Significado físico del determinante en 3D

El producto triple escalar de los vectores A (a1, a2, a3), B (b1, b2, b3) y C (c1, c2, c3) es
[matemáticas] (\ vec {A} \ veces \ vec {B}). \ vec {C} [/ matemáticas]. Aquí [math] \ vec {A} \ times \ vec {B} [/ math] representa el vector de área de un paralelogramo con lados dados por [math] \ vec {A} [/ math] y [math] \ vec { B} [/ matemáticas]. Cuando punteamos este vector de Área con C obtenemos el Volumen firmado de un paralelepípedo con los tres vectores como lados.

Ahora, si intenta hacer todo esto en forma de componente, el Volumen se ve así,
Volumen = [matemáticas] (\ vec {A} \ veces \ vec {B}). \ Vec {C} [/ matemáticas] = [matemáticas]
\ begin {pmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 y b_2 y b_3 \\
c_1 y c_2 y c_3 \\
\ end {pmatrix} [/ math]
Entonces, el determinante de una matriz es el volumen firmado del paralelepípedo en 3D. El determinante es cero significa que el volumen es cero, lo que significa que estos tres vectores son coplanares.

Answer 2

Cada matriz [math] n \ times n [/ math] describe una transformación lineal [math] T: \ mathrm R ^ n \ to \ mathrm R ^ n. [/ Math] Si toma una figura [math] S \ subseteq R ^ n, [/ math] entonces esa transformación lo asigna a su imagen, otra figura [math] T (S) \ subseteq R ^ n. [/ Math]

En el caso en que la transformación conserva la orientación, el contenido n- dimensional (longitud cuando n = 1, área cuando n = 2, volumen cuando n = 3, etc.) se escalará por un factor del determinante de la matriz; el contenido de [math] T (S) [/ math] será el determinante multiplicado por el contenido de [math] S. [/ math] Para una transformación de inversión de orientación, el factor es la negación del determinante.

Considere, por ejemplo, la matriz [math] 2 \ times2 [/ math]

[matemáticas] \ begin {bmatrix} 0 y -2 / 3 \\ 3/2 y 0 \ end {bmatrix} [/ matemáticas]

Esa matriz describe una transformación lineal que es la composición de estiramiento vertical por un factor de 3/2, apretando horizontalmente por un factor de 2/3, luego girando en sentido antihorario 90 °. Su determinante es 1. Si comienza con una figura inicial, se estirará, apretará y rotará, pero como el determinante de la matriz es 1, la figura resultante tendrá la misma área que la original.

Answer 3

Si considera la matriz como algo que multiplica un vector y lo transforma linealmente a otro vector, el determinante es el factor que aumenta el área / volumen / hipervolumen / etc. de un paralelogramo / paralelepípedo / hiperparallepípedo / etc construido a partir de un conjunto de vectores.

Answer 4

¿Qué es una matriz? Es un montón de vectores escritos convenientemente. Geométricamente, es un conjunto de vectores en un sistema de coordenadas.

El determinante de una matriz determina lo que haces con los vectores. Dependiendo de la orientación (la orientación es, en qué dirección va el vector), el determinante determina cuánto cambia un vector en una matriz: ¿se estira? ¿Se hace más pequeño? ¿Cambia de dirección?

Answer 5

Esto es a lo que me referí cuando tenía la misma pregunta.
¿Cuál es una forma intuitiva de pensar sobre el determinante?
Muy bien explicado en StackExchange.

Answer 6

Mira este video, este hombre lo ha explicado maravillosamente

El determinante | Esencia de álgebra lineal, capítulo 5

Answer 7

Espero que esto ayude

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