¿Cuál es la diferencia entre un vector y una matriz?

Answer 1

Una matriz es bastante simple. Es solo una matriz rectangular de números. (Algunas definiciones permitirían que se rellene con elementos no numéricos, pero la parte de matriz rectangular es bastante universal.) Las matrices son realmente importantes y pueden usarse para algunas matemáticas complicadas, pero la matriz en sí misma es solo un conjunto de números dispuestos en un rectángulo.

Un vector, en comparación, es bastante más complicado. Los tipos más básicos de vectores sobre los que los estudiantes aprenden son solo filas de números o columnas de números. ¡Este tipo de vectores son en realidad ejemplos de matrices! Un vector de fila con 10 elementos son solo 10 números dispuestos en una matriz de tamaño 1 por 10. Sin embargo, estos no son los únicos tipos de vectores que existen, son solo los primeros que se enseñan.

Un vector es, por definición, cualquier elemento de un tipo especial de conjunto llamado espacio vectorial. Si desea aprender sobre espacios vectoriales, generalmente tiene que llegar a una clase llamada álgebra lineal (generalmente tomada después de al menos 3 semestres de cálculo universitario). Baste decir que los vectores pueden venir en MUCHAS formas diferentes. Las funciones pueden ser vectores. Las formas pueden ser vectores. Los sonidos pueden ser vectores … Esta lista sigue y sigue …

Answer 2

Ahora, las matrices son vectores, desde el espacio vectorial de las matrices, pero no todos los vectores son matrices. Mirándolo desde una perspectiva algebraica, las matrices tienen esta emocionante doble vida de ser un rectángulo de números en el día y una función lineal en la noche, mientras que los vectores ordinarios (el tipo de una columna de números, no en el elemento más general -de-un-tipo de espacio vectorial) generalmente no tienen un negocio secundario de ser un operador lineal.

Si quieres otra perspectiva más, mira los tensores. Los vectores son tensores de orden 1 (es decir, obtienes m números), las matrices son tensores de orden 2 (números mxn), pero también puedes tener tensores de orden 3, etc .; así como los tensores de orden 2 podrían interpretarse como una función lineal de vectores a vectores, o como una función bilineal de pares de vectores a un número, los tensores de orden 3 podrían interpretarse como funciones lineales de vectores a matrices, o de matrices a vectores, o como una función bilineal de un par de un vector y una matriz a un número. De manera similar, los tensores de orden 1 (nuestros vectores) podrían interpretarse como una función lineal de un vector a un número (por ejemplo, utilizando cualquier producto escalar como el producto de punto), o como una función lineal de un número a un vector (que es simplemente escalando, y probablemente aburrido).

Answer 3

Mi objetivo es deshacerme de la idea de que los vectores son cosas definidas y que son solo una etiqueta que ponemos en las cosas.

Comencemos con otra pregunta

¿Qué es un vector?

¡Oh! ¡Lo sé! Es una flecha, que tiene una magnitud y una dirección.

¡Como eso!

Ehh … No. Eso no es un vector, es una flecha.

¿Y qué es una flecha entonces? Como podemos mover una flecha siempre que no la giremos, la aplastemos o la expandamos, escojamos poner la “cola de la flecha” en el origen de algo (volveré a ver qué es ese algo) :

¡Ahora la flecha es algo! Está escrito [math] \ vec {OA} = (2,3) [/ math]. Estos se llaman, como estoy seguro que saben, las coordenadas de la flecha.

Entonces, ¿un vector es solo un par de números? ¿Qué pasa con los vectores tridimensionales?

Oh bien, ahora es un triplete de números.

Pero como sabemos, [math] \ sqrt {2} [/ math] no es [math] 1.414 \ ldots [/ math]. Eso es solo una representación del número muy bien definido [math] \ sqrt {2} [/ math].

¿Qué pasaría si fuera lo mismo para los vectores? ¿Qué pasaría si un triplete fuera solo una representación conveniente de un vector, mientras que un vector se definiría de manera abstracta e independiente de toda representación, al igual que [math] \ sqrt {2} [/ math]?

Como siempre, cuando los matemáticos tienen una noción intuitiva en mente y quieren definirla rigurosamente, la clave es encontrar las propiedades esperadas de ese objeto. Debería haber suficientes propiedades para poder reconstruir el objeto inicial.

Supongamos que mi objetivo es definir qué es un «glipglob». Espero, por intuición, que un glipglob tenga las propiedades P, Q y R. Luego definimos un glipglob como cualquier cosa que satisfaga P, Q y R.

Hagamos eso para los vectores. Esperamos poder escalarlos:

de ahí el término “escalar”; podemos sumar dos juntos:

y otras propiedades que hacen que todo funcione bien, como el conjunto de escalares como un campo, el conjunto de vectores como un grupo que se suma y cómo nuestras operaciones de escala y suma se combinan muy bien.

Esto es suficiente para definir vectores

Un espacio vectorial no es algo construido explícitamente, es una etiqueta que ponemos en conjuntos que presentan buenas operaciones.

Lo mismo ocurre con grupos, anillos, campos, módulos, álgebras y cualquier otra estructura algebraica.

Ejemplos:

• El conjunto de polinomios reales, [math] \ mathbb R [X] [/ math], junto con [math] \ cdot [/ math] (escalado por un número real) y [math] + [/ math] (suma de polinomios)
• [math] \ mathbb R ^ n [/ math], el conjunto de n-tuplas, con escala real y suma. Este es el que se presenta en la escuela secundaria, generalmente [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math] o [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math].
• [math] (M_n (\ mathbb R), +, \ times, \ cdot) [/ math] es un [math] \ mathbb R [/ math] -algebra, así que en particular un [math] \ mathbb R [/ matemáticas] -vector espacio.
• [math] (C ^ n ([a, b], \ mathbb R), +, \ times, \ cdot) [/ math] (n-times funciones diferenciables cuyas [math] n ^ {\ text {th}} [/ math] -derivative es continuo) también es un [math] \ mathbb R [/ math] -algebra

En conclusión: las matrices pueden verse como vectores, pero un vector no es más que un elemento de un espacio vectorial, y el “espacio vectorial” no es más que un título que podemos poner en conjuntos particulares

Answer 4

No necesita tanto la simplicidad como el contexto, que deberían ser transformaciones lineales para un estudiante de matemáticas de nivel de entrada. Construyes desde espacios con bases usando un campo de escalares fijo.

Un campo es donde su calculadora de cuatro funciones funciona para todo lo que no sea cero (y el cero debe estar en ese campo). Un escalar es como se llaman los elementos del campo. (No preste atención a las objeciones de un público más erudito).

Los espacios son copias múltiples del campo; Si el número de copias es N, hablamos de un N-Space. Un Punto en el espacio N es la elección de un Escalar para cada una de las N copias, llamadas Componentes del Punto. Se pueden agregar dos puntos agregando sus respectivos Componentes. Un punto se puede multiplicar por un escalar, nuevamente por componentes. (Los componentes no se pueden mezclar ni confundir; siempre se puede saber en qué componente está haciendo aritmética en cualquier momento de los cálculos).

Entonces, con los conceptos en la mano, una transformación lineal es una función que toma todos los puntos en un espacio N y los asigna a un espacio M sin estropear la suma de puntos o la multiplicación escalar. Es decir
f (ap + bq) = a. f (p) + bf (q). Todavía no se usa para bases, vectores o matrices.

El siguiente paso lógico es la independencia lineal de Puntos, que conduce a Bases. Continuaré si quieres.

Answer 5

Según todas las respuestas acerca de los vectores, ¿significa que una definición física del vector, alguna cantidad que tiene magnitud y dirección es INCORRECTA?

Fuerza, aceleración representada tanto por mag como por dirección: ¿esa definición no es válida?

¿Cómo reconciliamos la definición del físico con una que tenemos aquí: matriz de 1xn o nx1?

Answer 6

Una matriz es simplemente una matriz rectangular de números y un vector es una fila (o columna) de una matriz. Un vector puede considerarse como 1 por n matriz o n por 1 matriz.

La utilidad básica de las matrices es representar transformaciones lineales de vectores o mapeos lineales entre espacios vectoriales.

Answer 7

Un vector es solo una fila o columna en una matriz, y es en sí mismo una matriz de 1 por n o n por 1. Un vector se puede considerar como una posición en el espacio n, o una dirección en el espacio n. Una matriz puede entonces considerarse como una colección de vectores.

Answer 8

Debe tener en cuenta que los significados son diferentes según el contexto.

En Matlab, un vector es solo una matriz de 2 dimensiones, mientras que una matriz es una matriz de 3 dimensiones.

En R, son dos clases diferentes.

En matemáticas, una matriz es solo una representación conveniente de un sistema de ecuaciones, mientras que un vector es una línea con magnitud y dirección.

Answer 9

Una matriz es simplemente una matriz de números ingresados ​​en filas y columnas.

Un vector se puede representar como una columna de números, pero también tiene magnitud y dirección.

Por ejemplo, el vector (2,3, -4) tiene una magnitud √29.

Answer 10

Con las definiciones modernas, las matrices son un caso especial de vectores y los vectores no son necesariamente matrices.

U otra formulación. [matemáticas] Mat (n × m, F) [/ matemáticas] es un espacio vectorial. Entonces las matrices son vectores.

Y [math] End (\ mathbb {R} ^ 2) [/ math] es un espacio vectorial pero no contiene matrices.

Answer 11

Una matriz es una matriz ordenada y rectangular de elementos (números, letras, elementos, etc.) mientras que un vector es una cantidad direccional que se puede representar en formato matricial.