Gracias por pedirme que responda.
En realidad, creo que se ha pasado por alto algo de sutileza que tiene que ver con lo que realmente quieres decir con “cambiar el orden de tus desplazamientos”.
En primer lugar, supongo que cuando dices “desplazamientos” te refieres a la colección de vectores componentes en un sistema de coordenadas elegido. Estoy de acuerdo en que, dado que el vector per se tiene una propiedad de longitud total que es independiente del sistema de coordenadas que elija como marco de referencia para describirlo como una suma de componentes, nada de lo que haga alterará su longitud o “magnitud”. La magnitud es invariable bajo el cambio de los sistemas de coordenadas porque es una propiedad abstracta de cualquier realidad que represente el vector. En cualquier sistema de coordenadas arbitrario, ya sea algo exótico o algo simple como un sistema de coordenadas cartesianas que primero se le enseña a usar, la longitud de ese vector es computable a partir de componentes al calcular el “producto interno” de ese vector consigo mismo. En el caso cartesiano, esto se define como la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de las longitudes de sus componentes. La cuadratura hace que el cálculo sea independiente de las direcciones de los componentes y, como se ha señalado, la suma es asociativa y el orden no importa. Incluso en sistemas de coordenadas no cartesianas, la respuesta será la misma por la razón física de que la longitud (magnitud) de ese vector es una característica definitoria que no se puede cambiar.
Rápido a un lado: cuando va más allá de las coordenadas cartesianas, simplemente encuentra que cada sistema de coordenadas distinguible tiene su propia “métrica”. Las métricas están representadas por matrices. Dada una métrica g , puede encontrar el producto interno de los vectores ayb mecánicamente . comienzas transformando b (podrías hacer esto por primera vez; el orden no importa) multiplicándolo por la métrica g (escrita g b ) que produce una “transposición” de b y luego a ( g b ), por Las reglas de multiplicación de matrices producen un escalar (un resultado invariable independiente de cualquier sistema de coordenadas) cuya raíz cuadrada es una longitud. Si a = b obtienes la longitud de a (igual que b ). Para el muy querido sistema de coordenadas cartesianas, g es esencialmente 1, más formalmente una matriz de identidad. Entonces … en este nivel, esta digresión sirve solo para llevar a casa el punto, esa longitud es una especie de propiedad “física” del vector que no puede cambiar incluso si lo mira desde otros marcos de referencia muy diferentes y muy exóticos. Las herramientas existen para tratar con diferentes sistemas de coordenadas, cada uno de los cuales podría producir vectores componentes bastante diferentes, a los que parece referirse como “desplazamientos”.
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Entonces, la sutileza aparece cuando comienzas a hablar sobre direcciones. Hay un problema muy práctico con respecto al término “dirección”. Es decir, a diferencia de la longitud, no se puede discutir sin un marco de referencia real. Simplemente no puede describir lo que quiere decir con la dirección de un vector sin recurrir a especificar (directa o indirectamente) un marco de referencia. A diferencia de la longitud, la dirección no es absoluta e invariante. En términos cartesianos, solo puede especificar “dirección” si ha etiquetado las líneas de coordenadas para hacer referencia. En 2D, por ejemplo, puede usar ángulos, como 20 grados a la izquierda de su eje “y” mientras lo ve.
Y ahora comienza el problema. Si al “cambiar el orden” de sus “desplazamientos” se permite comenzar a mezclar qué componente está asociado con qué dirección de coordenadas, entonces fácilmente termina cambiando la descripción de las direcciones. Nuevamente, esto es sutil, porque puedes jugar con lo que quieres decir con “orden” aquí y tal vez salvar el resultado, pero en general, cuando arriba se vuelve hacia abajo o hacia la izquierda, hacia arriba o hacia la izquierda, etc., puedes dibujar esto y descubra que si bien las magnitudes de sus componentes individuales podrían no cambiar, si su idea de “orden” incluye la libertad de cambiar qué puntos de componentes a lo largo de qué dirección de coordenadas, terminará con una resultante cuya dirección ha cambiado con respecto al sistema de coordenadas crees que todavía lo estás usando.
Por supuesto, no estoy seguro de que haya contemplado el cambio de dirección como parte de su manipulación del “orden” entre los componentes. Si lo hiciste, entonces terminas con cambios de dirección la mayor parte del tiempo. Si no lo hizo, entonces su pregunta al menos ha provocado la revelación pedagógicamente importante de que la dirección siempre es relativa al sistema de coordenadas en el que elige describir sus vectores, mientras que la longitud siempre es independiente de esa elección (permitiendo la “escala”, pero siempre es posible lidiar con eso para preservar la longitud usando la misma regla …).
Punto final: Las herramientas matemáticas existen para hacer álgebra vectorial en una forma que es “libre de coordenadas”. Es un principio importante de la física, que cualquier ley de la naturaleza debe poder expresarse en términos libres coordinados, o no es una ley de la naturaleza. Comida para una discusión posterior …