Para explicar un poco lo que dijo Gram Zeppi, está haciendo un mal uso de los términos “espacio de columna” y “espacio de fila” en su pregunta. El espacio de la columna es el espacio de las columnas y el espacio de la fila es el espacio de las filas. Los vectores singulares de la izquierda son una base para el espacio vectorial que contiene el espacio de la columna, pero no es necesariamente el mismo. Del mismo modo, los vectores singulares correctos son una base para el espacio vectorial que contiene, pero no necesariamente igual, al espacio de fila. Por ejemplo, Gram usó la matriz cero [math] 2 \ times 1 [/ math]. Tanto su espacio de columna como su espacio de fila son el espacio cero, ya que estos son los únicos espacios lineales que pueden abarcar los vectores cero.
Si desea recordar cómo asociar izquierda / derecha a columnas / filas, escriba las matrices de esta manera:
[matemáticas]
U = \ begin {bmatrix}
u_1 & \ cdots & u_M
\ end {bmatrix},
V = \ begin {bmatrix}
v_1 ^ T \\ \ vdots \\ v_N ^ T
\ end {bmatrix},
[/matemáticas]
donde [math] u_i, v_i [/ math] son vectores de columna. Luego, la multiplicación izquierda de la matriz por un vector debe ser multiplicación por un vector fila. Usa la transposición del primer vector singular izquierdo y obtendrás
[matemáticas]
u_1 ^ TM = u_1 ^ TU \ Sigma V = \ sigma_1 v_1 ^ T.
[/matemáticas]
Como el resultado es un múltiplo del vector singular derecho [math] v_1 ^ T [/ math] y debe ser una fila, los vectores singulares derechos deben ser la base del espacio que contiene el espacio de la fila. Igualmente
[matemáticas]
Mv_1 = U \ Sigma V v_1 = \ sigma_1 u_1
[/matemáticas]
es una columna, por lo que los vectores singulares izquierdos deben ser una base del espacio que contiene el espacio de la columna.