¿Cuál es el espacio de los planos en [math] \ mathbb {R} ^ 4 [/ math] que no pasan por el origen?

Answer 1

Escribir tan tarde en la noche, así que disculpas por cualquier error Tampoco es una respuesta completa, pero algunas ideas sobre cómo abordar esto.

Su pregunta requiere, en primer lugar, decidir qué quiere decir con “espacio”, y en segundo lugar, qué tipo de cosas responderían a la pregunta sobre qué “espacio” en particular es. Una interpretación natural es que “espacio” significa “espacio topológico” y que describir un espacio topológico X es proporcionar un homeomorfismo entre X y otro espacio más familiar. Si X es, como un conjunto, la colección de planos distintos en 4 espacios que no pasan por el origen, entonces debemos proporcionar a X una topología. La forma más natural que conozco para hacer esto es exhibir X como una variedad algebraica real, como explicaré.

Sea Y el espacio proyectivo real 4-d RP ^ 4 = (R ^ 5 – 0) / R *, con coordenadas homogéneas [A: B: C: D: E]. Este es un colector compacto. Sea V <Y el subconjunto abierto que consiste en esos puntos con E distinto de cero, que podemos identificar con R ^ 4 usando las coordenadas a = A / E, b = B / E, c = C / E, d = D / E. Deje que X 'sea el conjunto de planos en V, y deje que X <X' sea el subconjunto de planos que no pasan por el origen. Para cualquier plano P <V, su cierre topológico en Y es una copia de RP ^ 2, incrustado como un subespacio lineal proyectivo 2D. (Es decir, si expresamos Y = RP ^ 4 = (R ^ 5 – 0) / R *, entonces un subespacio lineal 2D proyectivo es de la forma Z = RP ^ 2 = (U – 0) / R * para un subespacio vectorial 3D U <R ^ 5.) Por el contrario, cualquier subespacio lineal proyectivo 2D de Y que no está contenido en el complemento Y – V = RP ^ 3, intersecta V en un plano P. El conjunto de TODOS los espacios lineales proyectivos 2D en Y se conoce como Grassmannian Gr (3, 5), es decir, el conjunto de subespacios lineales 3-D de un espacio vectorial 5-D. Esta es una variedad proyectiva que puede expresarse como el lugar de fuga de una colección de ecuaciones polinómicas homogéneas en 10 variables. También tiene una acción transitiva del grupo GL (5). Es un colector liso y compacto. El subconjunto de Gr (3, 5) que consiste en esos 2 planos proyectivos contenidos en el límite RP3 = Y – V de RP ^ 4 es una subvariedad cerrada S isomorfa a Gr (3, 4) = RP ^ 3. Entonces, el complemento Gr (3, 5) – S está abierto, y puede identificarse con el conjunto X 'de los planos P en V. Dentro de este conjunto, la condición de que el plano P pase por el origen en V define un subconjunto cerrado, entonces el conjunto de interés X de los planos P que no pasan a través de 0 adquiere la estructura de una subvariedad abierta de Gr (3, 5) y, por lo tanto, una topología.

Esto significa que podemos estudiar la topología de X escribiendo mapas de X a otras variedades algebraicas definidas por ecuaciones polinómicas, y estudiando estos mapas usando geometría o topología. Estaré ondulado a mano aquí, pero creo que lo siguiente es correcto. Hay un surje p: X – >> PV = RP ^ 3 = {3 planos en V = R ^ 4 (pasando por 0)} llevando un plano P en X al único H de 3 planos que contiene 0 y X. La fibra p ^ -1 (H) es el conjunto de planos en H = R ^ 3 que no pasan por el origen. Esto puede identificarse con R ^ 3 – 0, enviando un plano a su punto más cercano al origen (el inverso asocia a un vector distinto de cero v en H el vector tangente en v a la esfera en H centrada en el origen del radio | v |). Entonces me parece que podemos expresar X como un paquete de fibras (R ^ 3-0) sobre RP ^ 3. (Sin embargo, no he comprobado que p sea trivial a nivel local).

Dado que R ^ 3-0 es homotopía equivalente a la 2-esfera, y dado que RP ^ 3 y S ^ 2 tienen grupos de homotopía y cohomología muy simples, esto debería ser suficiente para calcular una gran cantidad de invariantes de X, en particular sus grupos de homotopía y su cohomología, usando secuencias exactas asociadas al haz de fibras.

(Comprobación de cordura: vemos que X tenue = 3 + 3 = 6, que coincide con el hecho de que X es una subvariedad abierta del múltiple de 6 dimensiones Gr (3, 5). Uf.)

Answer 2

Considere simplemente todos los planos en [math] \ mathbf {R} ^ 5 [/ math] que pasan por el origen. Sus ecuaciones están dadas por:

[matemáticas] a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 + a_4 x_4 + a_0 x_0 = 0 [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que la multiplicación de todos los coeficientes con un número real distinto de cero le devuelve el mismo plano. Por lo tanto, están parametrizados solo por el espacio proyectivo real de 4 dimensiones [math] \ mathbf {P} _ {\ mathbf {R}} ^ {4} [/ math].

Cada uno de estos planos te da un plano en [math] \ mathbf {R} ^ 4 [/ math] (acabo de homogeneizar las coordenadas [math] y_ {i} = \ frac {x_i} {x_0} [/ math]) y viceversa, excepto [matemática] a_1 = a_2 = a_3 = a_4 = 0 [/ matemática]. Este último corresponde exactamente al punto [math] (1: 0: 0: 0: 0) \ in \ mathbf {P} _ {\ mathbf {R}} ^ {4} [/ math].

Entonces, los planos que no pasan por el origen se pueden identificar con un subconjunto abierto de [math] \ mathbf {P} _ {\ mathbf {R}} ^ {4} – \ {(1: 0: 0: 0: 0) \} [/ math] tal que [math] a_0 \ neq 0 [/ math], es decir

[matemáticas] \ {(a_0: a_1: a_2: a_3: a_4) \ in \ mathbf {P} _ {\ mathbf {R}} ^ {4}: [/ matemáticas] [matemáticas] a_0 \ neq 0, a_1 ^ 2 + a_2 ^ 2 + a_3 ^ 2 + a_4 ^ 2 \ neq 0 \} [/ math].

Puramente formalmente en el lenguaje de la geometría algebraica, esos son puntos matemáticos [math] \ mathbf {R} [/ math] de [math] \ mathrm {Proj} ~ \ mathbf {R} [a_0, a_1, \ ldots, a_4] _ {a_0} – \ {(1: 0: 0: 0: 0) \} [/ math].

No necesitas más que eso para este simple problema.