En la formulación débil de un problema de Dirichlet de dimensión 1, después de definir una malla y escribir la forma bilineal simétrica en consecuencia, ¿por qué su matriz sería tridiagonal?

Answer 1

Como dijo Victor Eijkhout, la estructura de la matriz depende de la elección específica de los elementos, pero aquí hay una ilustración de cómo surge una matriz tridiagonal para elementos lineales. Los índices de fila y columna especifican los dos elementos básicos que se multiplican e integran para calcular la matriz. Moviéndose a través de una fila, un elemento se fija mientras que el otro se traduce. Aquí hay una imagen para ilustrar:

Esto podría ser, por ejemplo, la fila 2, indicada por el subíndice fijo del elemento escrito en negro. El número de columna está asociado con el elemento escrito en rojo. Verá que los elementos solo se superponen cuando el número de columna es adyacente o igual que el número de fila. Dado que se superponen, su producto no es cero y, por lo tanto, la integral del producto también es distinta de cero (o puede serlo).

En el último caso donde la fila es 2 y la columna es 4, si multiplica estas funciones, el resultado es cero ya que no hay superposición. Esto hace que la integral cero asociada sea la razón por la que terminas con una matriz tridiagonal para esta elección de base.

Answer 2

Depende del grado de tus elementos. Para lineal, sí. Para un mayor grado, la matriz puede tener un ancho de banda mayor.