¿Por qué es imposible definir un producto bilineal no trivial en un espacio vectorial general para que el resultado permanezca en el mismo espacio vectorial?

Answer 1

Puedes formar muchos de estos productos. Considere dos funciones lineales [math] \ alpha, \ phi \ ,: V \ to \ mathbb {F} [/ math], donde [math] V [/ math] es el espacio vectorial subyacente, y [math] \ mathbb { F} [/ math] es el campo de escalares asociado con el espacio (generalmente [math] \ mathbb {R} [/ math] o [math] \ mathbb {C} [/ math]). Ahora considere un vector fijo [matemático] w \ en V [/ matemático]. El siguiente producto es bilineal.

[matemáticas]
u \ circ v = \ alpha (u) \ phi (v) w \ quad u, v \ en V
[/matemáticas]

y el resultado yace en V. Entonces, cada triplete [math] (\ alpha, \ phi, w) [/ math] da un producto vectorial bilineal sobre el espacio vectorial. Ahora puede hacer un producto más general considerando muchos trillizos como el anterior y sumarlos. Si [math] \ {(\ alpha_i, \ phi_i, w_i) \} _ {i = 1, \ dots, n} [/ math] es una colección de trillizos donde [math] \ alpha_i, \ phi_i [/ ​​math] son funcionales lineales y [matemáticas] w_i \ en V [/ matemáticas], entonces

[matemáticas]
u \ circ v = \ sum_ {i = 1} ^ n \ alpha_i (u) \ phi_i (v) w_i \ quad u, v \ en V
[/matemáticas]

Es un producto bilineal de vectores con un vector como resultado. ¡Es posible demostrar que cada producto vectorial es de esta forma! así que hay muchos de ellos, y se conoce su estructura general, la que te muestro antes.
EDITAR:
El teorema que establece que cada producto de vector bilineal es de la forma que le dije antes es válido solo para espacios de dimensiones finitas. En un espacio de dimensiones infinitas, el ejemplo que proporcioné proporciona muchos productos de vectores bilineales, pero no todos los productos son de esta forma.