Cómo resolver [matemáticas] x ^ x = 4 [/ matemáticas] algebraicamente

Answer 1

Es fácil ver que [matemáticas] x = 2 [/ matemáticas] es una solución. Para demostrar que no hay otras soluciones, tendrá que recurrir al análisis, específicamente, debe tomar un derivado:

[matemáticas] \ frac {d} {dx} x ^ x = \ frac {d} {dx} e ^ {x \ log x} = e ^ {x \ log x} \ frac {d} {dx} (x \ log x) [/ math]
[matemáticas] = x ^ x \ left (\ log x + x \ frac {1} {x} \ right) = (1 + \ log x) x ^ x [/ math]

Tenga en cuenta que para [matemáticas] x> \ frac {1} {e} \ aprox 0.3678 … [/ matemáticas], esta derivada es positiva, por lo que esto implica que en esta región, no puede haber otra solución de [matemáticas] x ^ x = 4 [/ matemáticas]. Por lo tanto, si hay una solución, debe estar en la región [matemáticas] 0 <x <\ frac {1} {e} [/ matemáticas].

Ahora, observe que la derivada es negativa en esta región, por lo que habrá una solución si y solo si la función [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] es mayor que 4 alrededor de 0. En otras palabras, estamos interesados ​​en límite de [matemáticas] x ^ x [/ matemáticas] en 0, que también podemos calcular:

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} x \ log x = \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {\ log x} {\ frac {1} {x}} = \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} \ frac {\ frac {1} {x}} {- \ frac {1} {x ^ 2}} [/ math]
[math] = \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} -x = 0 [/ math]

Entonces,

[matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} x ^ x = \ lim_ {x \ rightarrow 0 ^ +} e ^ {x \ log x} = 1 [/ math]

Como [math] 1 <4 [/ math], podemos concluir que [math] x ^ x = 4 [/ math] tiene solo una solución.

Hablando moralmente, no debería haber ninguna solución puramente algebraica a este problema, en virtud del hecho de que para tener sentido de lo que significa [matemática] x ^ x [/ matemática], debe hablar sobre convergencia O tiene apegarse a los enteros positivos. Por supuesto, sobre los enteros, es muy fácil ver que [matemática] x = 2 [/ matemática] es la única solución.

Answer 2

Bueno, es bastante evidente que [matemática] x = 2 [/ matemática] es una solución, pero para el caso general [matemática] x ^ x = c [/ matemática], no existe una solución algebraica. Sin embargo, la solución puede expresarse en términos de la función Lambert W.
[matemáticas]
x ^ x = e ^ {x \ ln {x}} = c
[/matemáticas]
[matemáticas]
x \ ln {x} = \ ln {c}
[/matemáticas]
[matemáticas]
e ^ {\ ln (x)} \ ln {x} = \ ln {c}
[/matemáticas]
[matemáticas]
W (\ ln {c}) = \ ln {x}
[/matemáticas]
[matemáticas]
x = e ^ {W (\ ln {c})}
[/matemáticas]

Answer 3

En el dominio de números reales positivos y usando la función exponencial para definirlo

[matemáticas] x ^ x = e ^ {x \ ln x} [/ matemáticas]

es una función monotónicamente creciente para [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas]. Cruza la linea

[matemáticas] y = 4 [/ matemáticas]

precisamente en un punto, a saber

[matemáticas] x = 2 [/ matemáticas].

Answer 4

No puedes Es una ecuación trascendental.