¿Cómo entendemos el subíndice en derivada de matriz?

Answer 1

Esta es una notación indexada estándar para tensores.

Por ejemplo, [math] T_ {cd} [/ math] significa el elemento en la fila [math] c [/ math] -th, [math] d [/ math] -th en alguna representación matricial del rango- 2 tensor [matemática] T [/ matemática].

Entonces la fórmula anterior dice lo siguiente. La primera ecuación le dice que para calcular el elemento en la [matemática] a [/ matemática] -th fila, [matemática] b [/ matemática] -th columna en la matriz etiquetada [matemática] \ nabla_ {12} [/ matemática ], debe diferenciar parcialmente [math] f [/ math] con respecto al elemento en la fila [math] a [/ math] -th, [math] b [/ math] -th en la matriz etiquetada [ matemáticas] G_ {12} [/ matemáticas].

El segundo signo de ecuación es una aplicación de la regla de la cadena de diferenciación (parcial): le dice que tome la derivada parcial de [math] f [/ math] con respecto al elemento en [math] c [/ math] – fila, [matemática] d [/ matemática] -th columna en la matriz etiquetada [matemática] T [/ matemática], multiplicada por la derivada parcial del elemento mencionado anteriormente de [matemática] T [/ matemática] con respecto al elemento en la fila [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] en la matriz etiquetada [matemática] G_ {12} [/ matemática], y luego sume el resultado sobre todos los valores posibles de [matemáticas] c [/ matemáticas] y [matemáticas] d [/ matemáticas].

Por supuesto, deletrearlo en palabras es en realidad mucho más complicado que las ecuaciones mismas. Es por eso que esta notación indexada es tan útil y vale la pena aprenderla.

Y mientras lo hace, también puede considerar la “convención de suma de Einstein”, que consiste en soltar el signo de suma por completo y simplemente reconocer que cada vez que hay un índice repetido, se implica una suma:

[matemáticas] \ sum_ {cd} \ frac {\ partial f} {\ partial T_ {cd}} \ frac {\ partial T_ {cd}} {\ partial (G_ {12}) _ {ab}} = \ frac {\ partial f} {\ partial T_ {cd}} \ frac {\ partial T_ {cd}} {\ partial (G_ {12}) _ {ab}} [/ math].

(Incidentalmente, mientras escribía la ecuación anterior, noté que parece faltar algunas del-s ([matemáticas] \ parcial [/ matemáticas]) en su ecuación.

Answer 2

[matemáticas] (\ nabla_ {12}) _ {ab} = \ frac {\ partial f} {\ partial (G_ {12}) _ {ab}} = \ sum_ {cd} {\ frac {\ partial f} {\ partial T_ {cd}} \ frac {\ partial T_ {cd}} {\ partial (G_ {12}) _ {ab}}} [/ math]

Aquí está G y T son matrices, f es la función de G y G es la función de T, pero no entiendo qué significa ab y cd.