Una matriz con entradas en un campo es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. Sin embargo, también podemos considerar matrices cuyas entradas pertenecen a un anillo conmutativo arbitrario.
Dado un anillo conmutativo [math] R [/ math], denote por [math] M_n (R) [/ math] el espacio de las matrices [math] n \ times n [/ math] con entradas en [math] R [/ matemáticas]. Se puede definir el determinante [math] \ det: M_n (R) \ to R [/ math] tanto como lo haríamos para matrices con entradas en un campo.
Una matriz [matemática] X \ en M_n (R) [/ matemática] es invertible si y solo si su determinante [matemática] \ det X \ en R [/ matemática] es invertible en [matemática] R [/ matemática]. Tenga en cuenta que si [math] R [/ math] es un campo, entonces cada elemento distinto de cero de [math] R [/ math] es invertible, por lo que la condición de que [math] \ det X [/ math] es invertible es equivalente a [matemática] \ det X \ ne 0 [/ matemática].
Para dar algunos ejemplos, dejemos que [math] R = \ mathbb {C} [t] [/ math] sea el anillo de polinomios en una variable [math] t [/ math] con coeficientes complejos. Los elementos invertibles de este anillo [matemática] R [/ matemática] son los de grado [matemática] 0 [/ matemática], por lo que cualquier matriz [matemática] X \ en M_n (R) [/ matemática] con [matemática] \ det X [/ math] de grado al menos 1 será no invertible (como lo será cualquier cosa de cero determinante). Aquí hay un par de ejemplos con [math] n = 2 [/ math]:
- ¿Qué organización contratará estudiantes para trabajos matemáticos que involucren áreas como álgebra lineal, métodos numéricos y un poco de programación?
- Cómo resolver [matemáticas] x ^ x = 4 [/ matemáticas] algebraicamente
- ¿Cómo entendemos el subíndice en derivada de matriz?
- ¿Cuál es el propósito de estudiar matrices y determinantes?
- ¿Qué condición debe cumplirse para que una función recursiva pueda transformarse en una multiplicación matricial?
[matemáticas] X_1 = \ begin {pmatrix} t & 0 \\ 1 & t \ end {pmatrix} [/ math]
[matemáticas] X_2 = \ begin {pmatrix} t ^ 2 & 1 \\ 3t & t \ end {pmatrix} [/ math]
Para estos ejemplos, tenemos [math] \ det X_1 = t \ cdot t – 0 \ cdot 1 = t ^ 2 [/ math] y [math] \ det X_2 = t ^ 2 \ cdot t – 1 \ cdot 3t = t ^ 3-3t [/ matemáticas], que tienen grados [matemáticas] 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] 3 [/ matemáticas], respectivamente.