La respuesta de Hao Lin señala lo que sucede en el mejor de los casos, por lo que solo agregaré algunos detalles menores que detallan las preocupaciones de Roth Roth. Una matriz [matemática] 2 \ veces 2 [/ matemática] no siempre es diagonalizable, lo que significa que si bien siempre tendrá dos valores propios, no necesariamente tendrá dos vectores propios. Entonces, la porción de la respuesta de Hao Lin que dice que puedes reconstruir la matriz se aplica a este caso. Tenga en cuenta que si sus valores propios son distintos, siempre tendrá una matriz diagonalizable. Si no son distintos, entonces hay algunos casos en los que solo tendrá un vector propio. A esto se refiere Roth Roth cuando dice “su forma de Jordan tiene dos tipos”.
Por cierto, hay una serie de hechos que puede contar sobre la matriz a partir de la información proporcionada sin reconstruirla explícitamente, aunque estos también se pueden encontrar en la matriz misma si tiene los dos vectores propios y también para la reconstrucción. A continuación, [math] \ lambda_1, \ lambda_2 [/ math] son los valores propios y [math] v_1, v_2 [/ math] son los vectores propios correspondientes.
- Si se le dan dos vectores propios y los dos vectores propios son ortogonales, entonces su matriz es normal (es decir, conmuta con su transposición conjugada [matemáticas] AA ^ * = A ^ * A [/ matemáticas]). Si solo está considerando espacios vectoriales reales, puede ir más allá y decir que la matriz es simétrica.
- Suponga que sabe que la matriz es simétrica. Si los valores propios son positivos, la matriz es positiva definida (es decir, [matemática] x ^ TAx> 0 [/ matemática] para todos los vectores [matemática] x [/ matemática]. De manera similar, si ambos son negativos, la matriz es negativo definido. Si no son negativos (es decir, se puede incluir 0) la matriz es positiva semi-definida. Si no son positivos, la matriz es negativa semi-definida.
- Si ambos valores propios no son cero, la matriz es invertible / rango completo. Si uno o más valores propios son cero, la matriz no es invertible.
- El polinomio característico de la matriz es [matemática] p (s) = s ^ 2 – (\ lambda_1 + \ lambda_2) s + \ lambda_1 \ lambda_2 [/ math]. Tenga en cuenta que esto es lo mismo que [math] s ^ 2 – \ text {Tr} (A) s + \ text {det} A [/ math] donde rastro y determinante son como Hao Lin mencionó.
- Si uno de los valores propios es 1 y el otro es 0, la matriz es una matriz de proyección, lo que significa que proyecta un vector dado en un subespacio particular. También significa que la matriz es idempotente, es decir, [matemática] A ^ 2 = A [/ matemática].
- Si el producto de los valores propios (es decir, el determinante) es igual a 1, entonces el área de algún conjunto de vectores es invariante bajo la transformación que representa la matriz. Si el producto es negativo, la transformación lineal implica algún tipo de reflexión.
- Si el ángulo entre [matemática] v_1, v_2 [/ matemática] es muy pequeño (es decir, [matemática] v_1 ^ Tv_2 / (\ | v_1 \ | \ | v_2 \ |) \ aprox 0 [/ matemática]), entonces el La matriz probablemente esté mal acondicionada. Eso significa que ciertos cálculos numéricos podrían ser propensos a errores significativos.
- Si los valores absolutos de los valores propios son ambos menores que 1, entonces [math] A ^ n \ rightarrow 0 [/ math] como [math] n \ rightarrow \ infty [/ math].
- Si los valores absolutos de los valores propios son menores que 1, entonces [matemática] I – A [/ matemática] es invertible con inversa [matemática] (IA) ^ {- 1} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty A ^ n [/ matemáticas]. Esta es una extensión del concepto de serie geométrica a las matrices.
Hay otras cosas que puede decir, si está aplicando la matriz en varios contextos. Por ejemplo, si la matriz es para un sistema lineal de ecuaciones diferenciales o ecuaciones diferenciales, las partes reales de los valores propios le informan sobre la estabilidad del sistema y las partes imaginarias le informan sobre las propiedades oscilatorias (o la falta de ellas).