¿Es esto verdadero o falso? Si [math] \ textbf {x} [/ math] y [math] \ textbf {y} [/ math] son ​​linealmente independientes, y si [math] \ {\ textbf {x}, \ textbf {y}, \ textbf {z} \} [/ math] es linealmente dependiente, entonces es [math] \ textbf {z} [/ math] en Span [math] \ {\ textbf {x}, \ textbf { y} \} [/ matemáticas]?

Answer 1

Tu respuesta es correcta. La afirmación es cierta. Sin embargo, su razonamiento es un poco confuso, y esto probablemente se deba a que no está pensando en las definiciones como debería.

[matemática] \ {x, y, z \} [/ matemática] es linealmente dependiente significa que hay algunos coeficientes [matemática] a, b, c [/ matemática], no todos cero en el campo subyacente, de modo que se cumple lo siguiente :
[matemáticas] ax + por + cz = 0. [/ matemáticas] – (1)

Para mostrar que [math] z [/ math] está en [math] Span (x, y) [/ math], necesita producir algunos otros coeficientes [math] p, q [/ math] en el campo de manera que [ matemáticas] z = px + qy. [/ matemáticas] – (2)

Observe las ecuaciones anteriores por un par de momentos y pregúntese cómo puede proceder de (1) a (2). Bueno, una forma puede ser multiplicar (1) por el inverso multiplicativo de [math] c [/ math] y reorganizar los términos para obtener la siguiente expresión: [math] z = (-a / c) x + (-b / c) y. [/ matemáticas] – (3)
¡Configurar [matemáticas] p: = -a / c [/ matemáticas] y [matemáticas] q = -b / c [/ matemáticas] te lleva a donde quieres estar!

¿Hecho? No exactamente. Tenga en cuenta que necesita [math] c [/ math] para tener un inverso multiplicativo para que la reordenación en (3) anterior funcione. Esta es otra forma de decir que necesita que [math] c [/ math] sea distinto de cero (ya que todos los elementos distintos de cero en un campo tienen inversos multiplicativos). Sin embargo, si [matemática] c = 0 [/ matemática], entonces (1) anterior se reduce a [matemática] ax + por = 0 [/ matemática] para algunos coeficientes [matemática] a, b [/ matemática] no ambos cero ( si ambos son cero, los tres coeficientes en (1) se convierten en cero, lo cual es una violación), lo que viola el hecho de que [matemáticas] x, y [/ matemáticas] son ​​linealmente independientes.

Con esto, ya terminaste.

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Concéntrese en lo que dicen las definiciones y lo que significan. No los confundas con algo relacionado, pero completamente equivocado. Concéntrese en los contrapositivos correctos para usar, piense en lo que significaría la negación de una declaración.

Answer 2

Ok, recordemos algunas definiciones. el conjunto [matemática] \ {x, y, z \} [/ matemática] es linealmente dependiente si existen tres números [matemática] \ {a, b, c \} [/ matemática]
no todo cero tal que

[matemática] hacha + por + cz = 0 [/ matemática]

Ahora mire el número [math] c [/ math], ¿es cero o no? mi reclamo es que [math] c \ neq 0 [/ math] porque si [math] c = 0 [/ math] tenemos

[matemática] hacha + por = 0 [/ matemática]

Pero [matemática] \ {x, y \} [/ matemática] es linealmente independiente, esto significa que [matemática] a = b = c = 0 [/ matemática], ¡una contradicción! porque al principio dijimos que no los tres eran cero . Esto prueba que [math] c \ neq 0 [/ math] seguramente, por lo que podemos trabajar en la primera ecuación

[matemáticas] ax + por + cz = 0 \ implica z = – \ frac {a} {c} x – \ frac {b} {c} y [/ matemáticas]

Observe que podríamos dividir entre [matemáticas] c [/ matemáticas] porque mostramos antes que no es cero. Ahora defina

[matemáticas] d_1 = – \ frac {a} {c} [/ matemáticas]

[matemáticas] d_2 = – \ frac {b} {c} [/ matemáticas]

Con esto obtenemos

[matemáticas] z = d_1 x + d_2 y [/ matemáticas]

¡Pero esta es la definición de que [matemáticas] z \ in \ text {span} \ {x, y \} [/ math] !! Y con esto hemos demostrado su reclamo.

Answer 3

Trivialmente cierto. Defina dos espacios vectoriales [matemática] V: = \ mathrm {span} \ {x, y \} [/ math] y [math] W: = \ mathrm {span} \ {x, y, z \} [/ math ]
Claramente [matemáticas] V \ subseteq W [/ matemáticas].

Usted sabe acerca de las dimensiones: [matemática] \ dim V = 2 [/ matemática] como [matemática] x, y [/ matemática] son ​​linealmente independientes. Además, [math] \ dim W \ leq 2 [/ math] ya que [math] x, y, z [/ math] son ​​linealmente dependientes. Por lo tanto, [matemática] \ dim W = \ dim V [/ matemática]. Y como [math] V \ subseteq W [/ math], tenemos [math] V = W [/ math]. Este último significa [matemática] z \ en V [/ matemática], que es por la definición [matemática] \ matemática {span} \ {x, y \} [/ matemática].

Answer 4

Es verdad.

Se da que x e y son linealmente independientes. También se considera que z es linealmente dependiente de x o y. En otras palabras, z puede expresarse como una combinación lineal de x o y, por lo que está en su extensión.

Answer 5

Es cierto, pero su solución no tiene sentido. Decir que [math] \ {x, y, z \} [/ math] es dependiente significa que hay algún conjunto de coeficientes [math] \ {a, b, c \} [/ math] que no son idénticamente cero de modo que [matemática] ax + por + cz = 0 [/ matemática]. No hay nada allí que le permita concluir que [matemáticas] 0x + 0y = z [/ matemáticas].

Answer 6

Justin tiene razón. Puede concluir que existe [math] {a, b, c} [/ math] que no son todos ceros , de modo que [math] ax + by + cz = 0 [/ math]. Después de eso, si [matemática] c = 0 [/ matemática], entonces [matemática] ax + by = 0 [/ matemática], lo que significa [matemática] a = b = 0 [/ matemática]. Esto contradice no todos los ceros . Entonces [matemáticas] c \ ne 0 [/ matemáticas]. Qed