No creo que haya herramientas de cálculo que se puedan aplicar a los anillos conmutativos generales, pero hay algunas ideas de cálculo que se generalizan a contextos más amplios, en particular en geometría algebraica.
Por ejemplo, una cosa común para estudiar es el anillo de polinomios con coeficientes en algún anillo [matemáticas] R [/ matemáticas]. Supongamos por un segundo que [math] R = \ mathbb {R} [/ math], los números reales que conocemos y amamos. Entonces tiene sentido hablar sobre la derivada de tal polinomio. Pero, cuando todo está dicho y hecho, tomar la derivada de un polinomio es una manipulación puramente algebraica . Explícitamente:
[matemáticas] p (x) = a_0 + a_1 x + a_2 x ^ 2 + \ ldots + a_n x ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] p ‘(x) = a_1 + 2 a_2 x + \ ldots + n a_n x ^ {n – 1} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que no utilicé ninguna información sobre los números reales al escribir la definición de la derivada; en otras palabras, podemos hacer esta definición para cualquier anillo [math] R [/ math]. Resulta que esto puede ser útil (al menos, si está trabajando sobre un dominio integral [matemático] R [/ matemático]) para probar si su polinomio tiene raíces repetidas.
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También es común considerar expansiones formales de Taylor, es decir, expresiones del tipo [matemáticas] a_0 + a_1 x + a_2 x ^ 2 + a_3 x ^ 3 + \ ldots [/ matemáticas], con coeficientes en algún anillo. Sin embargo, uno nunca se preocupa por la convergencia en el sentido estándar de tales objetos.
Hay otros objetos que se generalizan en formas como esta, pero esto está fuera de mi campo de especialización.