Cómo derivar [matemáticas] {V} \ cdot {U} = \ | V \ | \ | U \ | \ cos (\ theta) [/ math]

Answer 1

Dado [math] \ displaystyle {V} [/ math], un espacio vectorial interno (escalar) del producto sobre el campo K. Deje que [math] \ displaystyle {u, v \ in V} [/ math] sean dos vectores arbitrarios. Un mapa:

[matemáticas] \ displaystyle {\ langle, \ rangle: V \ times V \ longrightarrow \ mathbb {R}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {(u, v) \ mapsto \ langle u, v \ rangle} [/ math]

define un producto interno en [matemáticas] V [/ matemáticas]

Con el producto interno, podemos generalizar la noción de “longitud” de un determinado vector como norma del vector, que es un mapa definido como:

[matemáticas] \ displaystyle {|| \ cdot ||: V \ longrightarrow \ mathbb {R}} [/ math]

[matemáticas] \ displaystyle {v \ mapsto || v || : = \ sqrt {\ langle v, v \ rangle}} \ qquad (1) [/ math]

En general, no existe una relación directa entre el producto interno y la norma en un espacio vectorial dado. La norma que se calcula por producto interno de acuerdo con la ecuación definitiva (1) es la norma llamada inducida o norma natural en el espacio vectorial.

Especialmente, de Álgebra lineal, tenemos un resultado muy bueno, la desigualdad de Cauchy-Schwarz, que es la siguiente:

[matemáticas] \ displaystyle {\ langle u, v \ rangle ^ 2 \ le \ langle u, u \ rangle \ langle v, v \ rangle} \ qquad (2) [/ math]

si [math] \ displaystyle {u \ text {or} v} [/ math] es un vector cero, entonces tenemos un signo igual en la desigualdad. De lo contrario, podemos reescribir [math] \ displaystyle {(2)} [/ math] como:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ left | \ langle u, v \ rangle \ right | } {\ sqrt {\ langle u, u \ rangle \ langle v, v \ rangle}} \ le 1} [/ math]

Entonces:

[matemáticas] \ displaystyle {\ frac {\ left | \ langle u, v \ rangle \ right | } {\ sqrt {\ langle u, u \ rangle} \ sqrt {\ langle v, v \ rangle}} \ le 1} [/ math] porque el producto interno no es negativo por definición

Esto muestra que es posible denotar la cantidad [math] \ displaystyle {\ frac {\ langle u, v \ rangle} {\ sqrt {\ langle u, u \ rangle} \ sqrt {\ langle v, v \ rangle} } = \ mathrm {cos} \ theta} [/ math] con [math] \ displaystyle {\ theta \ in \ left [0, 2 \ pi \ right]} [/ math] que se llama el ángulo entre dos vectores [ math] \ displaystyle {u, v} [/ math]. Ahora tenemos:

[matemáticas] \ displaystyle {\ langle u, v \ rangle = \ sqrt {\ langle u, u \ rangle} \ sqrt {\ langle v, v \ rangle} \ mathrm {\ mathrm {cos} \ theta}} \ qquad (3) [/ matemáticas]

Suponga que solo estamos interesados ​​en la norma inducida, luego la ecuación (3) se finaliza como:

[matemáticas] \ displaystyle {\ langle u, v \ rangle = || u || \ cdot || v || \ mathrm {cos} \ theta} \ qquad (4) \ square [/ math]

Tenga en cuenta que la ecuación (4) puede no ser válida para la norma no inducida.

Answer 2

Esto parece una pregunta de tarea, por lo que solo ofreceré sugerencias, y espero que lo resuelvas por ti mismo para entenderlo.

Dos vectores en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] para [math] n \ ge 2 [/ math] abarcan un plano, así que sin pérdida de generalidad, voy a asumir un sistema de coordenadas cartesianas en cuál representar [matemáticas] U, V [/ matemáticas] de modo que solo sus dos primeros componentes sean distintos de cero. Es decir, sea cual sea el valor de [matemáticas] n [/ matemáticas], [matemáticas] U = U_1 e_1 + U_2 e_2 + 0 e_3 + \ dots + 0 e_n [/ matemáticas], y de manera similar para [matemáticas] V [/ matemáticas ], donde [math] e_i [/ ​​math] son ​​los vectores base (por ejemplo, en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] tenemos [math] e_1 = (1,0,0) ^ T, e_2 = (0,1,0) ^ T, e_3 = (0,0,1) ^ T [/ matemáticas]).

Entonces, [matemáticas] \ | U \ | = \ sqrt {U_1 ^ 2 + U_2 ^ 2} [/ math]. Piense en un práctico sistema de coordenadas para lidiar con ángulos en los que la norma de un vector es un objeto muy natural para representar. ¡Espero que sea bastante obvio! Si sus vectores están en [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], entonces debería ser muy obvio y simple de ver y representar. En este punto, una imagen es lo más útil, donde dibujas los vectores que emanan del origen.

Desde este punto, ¿cuál es la definición del producto punto? ¿Puedes ver alguna identidad trigonométrica que pueda ser útil una vez que hayas hecho esto? Si no, ¿qué sucede si deja que su primer vector se encuentre a lo largo del eje [math] e_1 [/ math] e intente nuevamente?

Si te quedas atascado, comenta.

Answer 3

Gracias por A2A.

En realidad, para el caso más general, así es como definimos el ángulo entre dos “vectores”. Y las respuestas anteriores son lo suficientemente buenas para que pueda aprender de ellas.

Answer 4

Comience con la ley de cosenos.
Interpretarlo con vectores.

Use el hecho de que el cuadrado de la norma de un vector es el producto interno del vector consigo mismo para reescribir el lado izquierdo de esa ecuación como
Resta [math] \ | \ mathbf v \ | ^ 2 + \ | \ mathbf w \ | ^ 2 [/ math] de ambos lados de la ecuación y divide entre –2 para obtener

Aunque esta identidad no se parece a la ley de los cosenos, me gusta llamarla así, ya que es equivalente a ella.

Answer 5

En dos dimensiones:
[matemáticas] \ vec {V} = \ | V \ | \ cos (\ theta_V) \ hat {i} + \ | V \ | \ sin (\ theta_V) \ hat {j} [/ math]
[matemáticas] \ vec {U} = \ | U \ | \ cos (\ theta_U) \ hat {i} + \ | U \ | \ sin (\ theta_U) \ hat {j} [/ math]
Donde [math] \ theta_V [/ math] y [math] \ theta_U [/ math] son ​​los ángulos vectoriales con respecto al eje x positivo y el ángulo entre los dos vectores es [math] \ theta = | \ theta_V- \ theta_U | [/ math], entonces
[matemáticas] \ vec {V} \ cdot \ vec {U} [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ | V \ | \ | U \ | \ cos (\ theta_V) \ cos (\ theta_U) + [/ matemáticas] [matemáticas] \ | V \ | \ | U \ | \ sin (\ theta_V) \ sin (\ theta_U) [/ math]
= [matemáticas] \ | V \ | \ | U \ | (\ cos (\ theta_V) \ cos (\ theta_U) + \ sin (\ theta_V) \ sin (\ theta_U)) [/ math]
= [matemáticas] \ | V \ | \ | U \ | \ cos (\ theta_V- \ theta_U) [/ matemáticas]
= [matemáticas] \ | V \ | \ | U \ | \ cos (\ theta) [/ matemáticas]

Answer 6

No lo derivaría, lo tomaría como la definición. La razón es que esta definición es libre de coordenadas. Para definirlo en términos de un sistema de coordenadas, uno se pregunta si la definición es invariable a un cambio de coordenadas.

Editar: en su lugar, demostraré que la definición se puede escribir en el formulario de componente. Fin de edición.
Usa la regla del coseno en el triángulo con los vectores U con las coordenadas U1, U2, U3 y V con las coordenadas V1, V2, V3, como dos de sus lados.
V. U = | V || U | cos \ theta = (1/2) (V ^ 2 + U ^ 2 – (VU) ^ 2)
= (1/2) Sum_i (Vi ^ 2 + Ui ^ 2 – (Vi-Ui) ^ 2)
= Sum_i (Vi Ui)
V. U = V1U1 + V2U2 + V3U3