La forma normal de Smith es el módulo análogo de la forma canónica de Jordan para espacios vectoriales. Al estudiar mapas de módulos sobre dominios ideales principales, por ejemplo, módulos sobre
- [matemáticas] \ mathbb {Z} [/ matemáticas]
- [math] \ mathbb {K} [x_1, \ cdots, x_n] [/ math],
La forma normal de Smith es esencial. Una vez que un mapa de módulos está en la forma normal de Smith, su núcleo e imagen son evidentes.
Una aplicación útil de la forma normal de Smith es el álgebra homológica , donde los objetos de interés son mapas de grupos de cadenas, que se utilizan para calcular invariantes topológicos de un espacio. Por ejemplo, puede poner el operador de límite
[matemática] \ parcial_n: \ Delta_n (X) \ a \ Delta_ {n-1} (X) [/ matemática]
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en forma normal Smith para calcular la homología de decir, la botella de Klein.