¿Qué es una explicación intuitiva del rango de una matriz?

Answer 1

Una matriz es una colección de vectores. Puede imaginar intuitivamente un vector como un punto en el espacio. Si lo desea, puede dibujar una línea desde el origen hasta ese punto y colocar una pequeña flecha en la punta.

Normalmente, imaginamos vectores en 2 o 3 dimensiones:

Arriba, ves el vector [7, 3, 5]. Intuitivamente, puedes imaginar una flecha que va desde el origen hasta el punto que tiene 7 unidades en la dirección x, luego 3 unidades en la dirección y y 5 unidades en la dirección z.

Ahora imagine solo dos de estos vectores 3D. Puedes imaginar agregar estos vectores tomando la punta de uno y usándolo como el origen del otro. Eso te daría un nuevo vector.

Arriba, agregamos el vector original [7, 3, 5] (ahora púrpura) [-2, -1, 5] (azul), y obtuvimos [5, 2, 10] (rojo).

Puede notar que el nuevo vector se encuentra en el plano de los dos originales. No es casualidad. Si escalamos los vectores originales por alguna constante, podríamos acortar o aumentar sus longitudes. Incluso podríamos escalarlos en una cantidad negativa y apuntarlos en la dirección opuesta. Sin embargo, todavía señalarían en las mismas direcciones. Cuando los agregas, aún elegirían algún punto nuevo en ese mismo plano.

Arriba, escalé el vector original [7, 3, 5] en 1/2, dando como resultado [3.5, 1.5, 2.5]. Aunque el nuevo vector después de la adición es un punto diferente [1.5, 0.5, 7.5], todavía se encuentra en el mismo plano.

Ahora, imagine que tomó todas las combinaciones posibles de los dos vectores. El conjunto de todos los puntos posibles que podría alcanzar al escalar y agregar estos dos vectores (incluido cero de cada uno) es el plano completo que pasa a través de los dos vectores y el origen.

Cuando hacemos esto, estamos imaginando el espacio que los vectores “abarcan”. En este caso, es un avión. Imagine que los dos vectores con los que comenzamos en realidad apuntaran en la misma dirección.

[7, 3, 5] y [-3.5, -1.5, -2.5] son ​​dos vectores distintos, pero apuntan en la misma dirección. Ninguna cantidad de combinación de estos dos escaparía de la línea en la que ambos se encuentran. Por lo tanto, el espacio “atravesado” por los dos vectores es una sola línea, en lugar de un plano.

En cada caso, teníamos dos vectores, pero el número de direcciones independientes hizo la diferencia entre atravesar un plano y una línea. El “rango” de una matriz es la dimensión de ese espacio atravesado por los vectores que contiene.

Si ponemos los dos vectores [7, 3, 5] y [-2, -1, 5] en una matriz:
[matemáticas] \ begin {bmatrix}
7 y -2 \\
3 y -1 \\
5 y 5
\ end {bmatrix} [/ math]
El rango de la matriz es la dimensión del espacio que obtienes al tomar todas las combinaciones de los vectores. Ya lo hemos hecho, y vimos que el espacio abarcado por [7, 3, 5] y [-2, -1, 5] era un avión. En este caso, el rango es 2 (porque un plano es bidimensional).

Pongamos los dos vectores [7, 3, 5] y [-3.5, -1.5, -2.5] en una matriz:

[matemáticas] \ begin {bmatrix}
7 y -3.5 \\
3 y -1.5 \\
5 y -2.5
\ end {bmatrix} [/ math]

Como ya vimos, estos dos vectores abarcan una línea. El rango de esta matriz sería la misma idea: es la dimensión del espacio que obtienes al tomar todas las combinaciones de los vectores. En este caso, ese espacio es solo una línea, por lo que el rango es 1 (porque una línea es 1 dimensional).

La misma idea se aplica en dimensiones superiores. Simplemente se vuelve más difícil de visualizar de forma intuitiva. Sin embargo, incluso en dimensiones arbitrariamente altas, el rango de la matriz es la dimensión del espacio atravesado por los vectores que componen la matriz.

Answer 2

Estos son los puntos que puedo pensar en este momento:
*Actualizado*
Espero eso ayude
1. Al observar el Rango de una matriz, puede saber si la matriz tiene columnas / filas independientes o columnas / filas dependientes. También puede decir el número de esas filas y columnas independientes.
2. Rank puede informarle sobre la cantidad de pivotes que obtendrá después de reducir la matriz a la forma escalonada.
3. El rango completo de la columna le dará inversa izquierda. El rango completo de la fila le dirá a la inversa.
4. La matriz de rango completo (columnas y filas) siempre es cuadrada e invertible.
5. El rango también informa sobre el contenido de la información de la matriz. Baje el rango de información.
6. El rango de la matriz le dirá cuántos valores propios va a obtener.
7. Si Matrix tiene rango completo, eso significa que el espacio nulo derecho / izquierdo contiene un vector cero.
8. La matriz de rango de fila completa siempre tendrá una solución, de hecho tendrá infinitas soluciones.
La matriz de filas de filas completas es corta y ancha.
9. La matriz de rango de columna completa tendrá una solución o una solución cero. La matriz de rango de columna completa es alta y delgada.
10. Si Rank no es una fila completa ni un rango completo, entonces la matriz puede tener soluciones cero o infinitas.
11. Rank le dirá todo sobre el número de soluciones, excepto las entradas exactas en la solución.
12. El teorema fundamental del álgebra lineal (por Gilbert Strang) se basa en el rango de una matriz. Según el teorema: para una matriz [A] m por n. El espacio de columna y el espacio de fila tienen dimensiones iguales al rango (r) de la matriz. El espacio nulo derecho tiene dimensiones n -r y el espacio nulo izquierdo tiene dimensión mr.
🙂 🙂

Answer 3

Primero déjame decirte, esta es una buena pregunta.
Puede ver el rango de una matriz de varias maneras diferentes, según cuál sea su área de interés. No sé cuán técnico debería ser al escribir la respuesta, así que presento aquí una idea que no es técnica pero que lleva la esencia del tema.
Me encanta ver la matriz como un mapa (o transformación). Si tiene una matriz mxn, tiene una buena propiedad de que enviará un vector en espacio n-dimensional a un vector en espacio m-dimensional. Si observa la matriz de identidad nxn, esto asignará cada vector a sí mismo, es decir, conservará su espacio original. De hecho, cualquier matriz nxn invertible preservará el espacio n-dimensional, solo cambiará la base, lo que significa que la dirección o la coordenada de cada vector cambiarán algo. Uno de repente pregunta: ¿siempre es así? Y es fácil responder que no es así, hay una serie de matrices que realmente colapsarán varios vectores en un solo vector en su rango. Esto significa que mientras espera una matriz mxn para mapear un espacio vectorial n-dimensional en un espacio vectorial m-dimensional. Pero la imagen del espacio vectorial n-dimensional puede no ser todo el espacio m-dimensional sino un espacio más pequeño incrustado en él.
Naturalmente, uno tendría curiosidad por saber “qué tan grande” sería la imagen de mi espacio vectorial actual bajo la matriz A. Y el rango de la matriz A le da precisamente eso.

Esto te da una idea de cuán interesante puede ser el rango.
Se puede escribir un artículo realmente grande para esto que no tengo la intención de escribir en este momento. Pero con esta información sobre el tema, sería interesante para usted observar las diversas definiciones de rango que figuran en los libros de texto como ‘número de filas o columnas distintas de cero en la matriz’ o ‘tamaño de la submatriz cuadrada más grande con -determinante cero en A ‘o’ dimensión del espacio de fila (o columna) de la matriz A ‘etc.
Y también debe mirar el ‘teorema de nulidad de rango’, mirar este teorema desde esta perspectiva le dará una mejor comprensión del rango. Y si sigue el párrafo anterior, encontrará que el teorema de nulidad de rango es tan trivial pero esclarecedor.

Answer 4

Una matriz consiste en filas de números (o escalares en un campo, pero pensemos en números ordinarios por ahora. Números racionales o reales).

Piense en estas filas como puntos en el espacio. Cada fila es un punto, los números le dan las coordenadas x e y y z (y más allá) del punto. Para mantener nuestra intuición intacta, piense en puntos en el plano o espacio tridimensional.

¿Todos estos puntos se encuentran en el origen (0,0,0)? Si es así, entonces el rango es 0.

De lo contrario, ¿todos se encuentran en una línea que pasa por el origen? Si es así, entonces el rango es 1.

De lo contrario, ¿todos yacen en un avión que pasa por el origen? Bueno, lo has adivinado: el rango es 2 en ese caso.

Y así.

Eso es bastante intuitivo, espero.

Milagro: puede repetir el mismo experimento mental con las columnas de la matriz en lugar de las filas. El rango saldrá igual. Siempre. Incluso si la matriz no es cuadrada.

Answer 5

Aquí hay una explicación simple relevante para las matrices de datos no negativos:

El rango es el número de vectores únicos que define una agrupación (o factorización) de una matriz de datos.

O, más simplemente, el número de buenos grupos.

Imagine que tenemos algunos datos, como una colección de documentos. Representamos los datos como una matriz (es decir, documentos x palabras)

Ahora intentamos agrupar los documentos en temas. Suponemos que cada documento es primario sobre 1 tema, y ​​que hay un documento único que es un prototipo o el mejor ejemplo para cada grupo

Entonces el rango es el número de grupos, o, equivalentemente, el número de documentos prototipo.

Este método se llama análisis de arquetipo o, a veces, factorización de matriz no negativa convexa. Aquí hay una publicación de blog que describe cómo resolver esto exactamente

Avances en NMF convexo: programación lineal
(más crípticamente, el rango es el número de vértices en el casco convexo de la matriz de datos)

Answer 6

¿Alguna vez has hecho un jugo de lima? ¿Qué ingredientes necesitas?
Tomas una taza de agua, un poco de azúcar, una pizca de sal y una lima.

Digamos que tiene cuatro personas que están haciendo jugo de limón: A , B , C y D. Ahora, el jugo de lima hecho por A tendrá un sabor diferente al elaborado por B , C o D. ¿Por qué sabe diferente? La proporción de agua, azúcar, sal y cal será diferente en cada caso.

Entonces, vamos a corregirlo en forma de ecuaciones. Ignora las unidades en la ecuación.

1 taza de agua + 50 g de azúcar + 2 g de sal + 2 de lima = jugo de A
1.2 taza de agua + 48 g de azúcar + 1.8 g de sal + 1.3 lima = jugo de B
2.1 taza de agua + 59 g de azúcar + 3.15 g de sal + 1.8 lima = jugo de C
0.8 taza de agua + 50.21gm de azúcar + 2.1gm de sal + 0.5 lima = jugo de D

Las ecuaciones simultáneas anteriores se pueden escribir en forma de matriz, obtenemos:

[matemáticas]
\ begin {bmatrix}
1 y 50 y 2 y 2 \\
1.2 y 48 y 1.8 y 1.3 \\
2.1 y 59 y 3.15 y 1.8 \\
0.8 y 50.21 y 2.1 y 0.5
\ end {bmatrix} \ begin {bmatrix}
x1 \\
x2 \\
x3 \\
x4
\ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix}
UNA\\
SI\\
C\\
re
\ end {bmatrix}
[/matemáticas]
dónde,
[matemáticas] x1 = [/ matemáticas] taza de agua
[matemáticas] x2 = [/ matemáticas] azúcar en gm
[matemáticas] x3 = [/ matemáticas] sal en gm
[matemáticas] x4 = [/ matemáticas] lima

A , B , C y D han hecho el jugo de lima con ingredientes en diferentes proporciones. Ahora considere si la persona que proporcionó los ingredientes para A, B, C y D viene y pide devolver todos los ingredientes en su forma cruda. Es decir, le está pidiendo a A, B, C y D que devuelvan [matemáticas] x1 [/ matemáticas], [matemáticas] x2 [/ matemáticas], [matemáticas] x3 [/ matemáticas] y [matemáticas] x4 [/ matemáticas] .

Como es posible ? ¿Cómo puede A recuperar todos los ingredientes del jugo de lima? Un ser muy inteligente, comenzará a hervir el jugo. El agua comenzará a evaporarse en su punto de ebullición y después de condensar los vapores, A podrá devolver el agua. ¿Qué pasa con los ingredientes restantes? El azúcar, la sal y la lima aún estarán en un estado mixto. Usando técnicas básicas de separación, no es posible separar el azúcar, la sal o la cal de este residuo.

Que puedes decir ? De los cuatro ingredientes, pudo recuperar solo uno y los 3 ingredientes restantes permanecieron en el estado mixto. No puedes separar estos 3 ingredientes.

Entonces, para este sistema, el rango será 3.

Answer 7

Tenga en cuenta que para [math] 1 \ leq i \ leq n [/ math] (dada una matriz [math] m \ times n [/ math]), la columna [math] i [/ math] th de la matriz es la imagen del vector [math] i [/ math] th de la base estándar de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] cuando multiplicamos ese vector a la derecha de la matriz. Si una columna de la matriz es una combinación lineal de las otras, en cierto sentido esto hace que la matriz “pierda información” de cada vector sobre el que actúa. Cuanto mayor es la diferencia entre [matemáticas] n [/ matemáticas] y el rango de la matriz, más información pierde esa matriz.

Si el rango es [math] m [/ math], la transformación lineal representada por esa matriz es surjective, y por lo tanto conserva tanta información como podría una matriz [math] m \ times n [/ math]. Si el rango es menor que [math] m [/ math], entonces es sobreyectivo en algún subespacio apropiado de [math] \ mathbb {R} ^ m [/ math].

Digamos que una matriz [matemática] A [/ matemática] tiene rango [matemática] k [/ matemática]. En general, [math] nk [/ math] mide hasta qué punto la transformación correspondiente a [math] A [/ math] no llega a ser inyectiva, y [math] mk [/ math] mide hasta qué punto [math] A [/ matemáticas] no llega a ser sobreyectivo.

Answer 8

El rango de la matriz es un número de vectores de columna independientes. Decimos que n vectores son independientes si alguna combinación lineal de cualquiera de ellos n-1 no da el enésimo.

Por ejemplo, si tenemos a = (1,1,2) b = (2,2,1) yc = (6,6,6) entonces a, b, c no son independientes ya que 2a + 2b = c, donde a y b son independientes, porque no hay un número k tal que k * a = b.

Además, el rango de la columna es igual al rango de la fila. Puede ver la prueba aquí: https://en.wikipedia.org/wiki/Ra …

Answer 9

El rango de una matriz es el número de dimensiones en cualquier espacio vectorial asociado con la matriz. Por asociación quiero decir que las filas de la matriz pueden considerarse miembros de un espacio vectorial. La dimensión de ese espacio vectorial es el rango de la matriz. Encuentra la dimensión identificando una base, un conjunto de vectores que son linealmente independientes (donde la suma de los productos de los vectores con algunos números es cero solo si todos sus términos son cero).

Answer 10

Piense en una matriz como un mapa de [math] \ mathbb {R} ^ m [/ math] a [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math]. Entonces, el rango es la dimensión de la imagen.

En una imagen intuitiva, el rango no puede ser igual a [matemáticas] n [/ matemáticas] si:

• El mapa “colapsa” de alguna manera (elimina dimensiones), porque:

• Tiene que (si [matemáticas] n
• Lo hace (como una proyección)
• O ambos (si proyecta más de lo necesario)

[math] m [/ math] se quedó sin dimensiones para admitir más dimensiones en la imagen.

Lo bueno es que esta imagen sigue siendo válida para una imagen mucho más general de “rango” (es decir, el rango de una función uniforme entre múltiples).

Answer 11

El rango de una matriz se define como (a) el número máximo de vectores de columna linealmente independientes en la matriz o (b) el número máximo de vectores de fila linealmente independientes en la matriz. Ambas definiciones son equivalentes.
Para una matriz r x c ,

• Si r es menor que c , entonces el rango máximo de la matriz es r .
• Si r es mayor que c , entonces el rango máximo de la matriz es c .

El rango de una matriz sería cero solo si la matriz no tuviera elementos distintos de cero. Si una matriz tuviera incluso un elemento distinto de cero, su rango mínimo sería uno.

Fuente: Estadística y Probabilidad.

Answer 12

Una matriz [math] m \ times n [/ math] describe una transformación lineal [math] \ mathbf R ^ n \ to \ mathbf R ^ m [/ math]. El rango de una transformación lineal es la dimensión de su imagen. El rango de una matriz es el mismo que el rango de la transformación lineal que describe.

Puede calcular el rango de una matriz dada reduciendo la fila y contando el número de filas distintas de cero en la matriz reducida de filas resultante. (También puede reducirlo en columnas o una combinación de operaciones de fila y columna).

Answer 13

Es el no de parámetros independientes involucrados en esa ecuación. si tiene m no de n ecuaciones de parámetros (ej .: A1x + A2y + A3z +… + AnN = c). Luego póngalos en una matriz de mxn, luego el rango de esa matriz es el no de parámetros independientes.

Answer 14

Eso se define como el número de filas linealmente independientes en su matriz. También es el número de columnas linealmente independientes.

Si necesita calcularlo, reduzca la fila de su matriz (solo a REF, no es necesario ir hasta RREF) y cuente el número de filas distintas de cero en el resultado.

Answer 15

Las matrices se usan con mayor frecuencia como un medio para representar funciones lineales. Desde este punto de vista, el rango de una matriz es solo la dimensión de su rango.

Answer 16

El rango de una matriz es la dimensión del espacio de columna y el espacio de fila de una matriz. Da el número de columnas independientes y el número de filas independientes de la matriz.

El rango de una matriz se usa para encontrar el número de soluciones de un sistema de ecuaciones lineales [matemática] A \ overrightarrow {x} = \ overrightarrow {b} [/ math] y [math] A \ overrightarrow {x} = \ overrightarrow {0} [/ matemáticas]

Answer 17

Esta es la mejor respuesta que he encontrado hasta ahora – Página en stackexchange.com

Answer 18

Convierta la matriz en forma escalonada. Luego, el número de filas distintas de cero representa el rango de la matriz

Answer 19

Una posibilidad es que el rango indique la dimensión del espacio atravesado por las columnas de la matriz.