¿El determinante se define arbitrariamente solo para encontrar la singularidad de la matriz?

Answer 1

Es interesante que los determinantes sean anteriores a las matrices.

Thomas Muir (1844–1934) escribió una historia de cuatro volúmenes de determinantes a partir de 1906. Los dos primeros volúmenes están en línea en el Archivo de Internet: La teoría de los determinantes en el orden histórico del desarrollo.

Leibniz los mencionó por primera vez en 1693 para las soluciones de tres ecuaciones lineales en tres incógnitas. A mediados de la década de 1700, Fontaine, Cramer y Bezout extendieron el uso de determinantes a más ecuaciones con aplicaciones a la geometría algebraica. En 1771 Vandermonde y Laplace escribieron sobre determinantes y encontraron más aplicaciones para ellos.

En todos estos primeros trabajos sobre determinantes, los argumentos no se escribieron como una matriz cuadrada, sino que se utilizó alguna otra notación. Aquí está Muir comentando la notación de Laplace:

Tenga en cuenta que Muir, escribiendo en 1906, dice que la notación de Laplace “todavía es de uso común”. Ya no es más.

Estos primeros matemáticos que trabajaron con determinantes no concibieron matrices o transformaciones lineales en [math] \ mathbf R ^ n. [/ Math] Los propósitos de los determinantes fueron variados.

Answer 2

No. El determinante es uno de los llamados invariantes de la matriz. Los invariantes de la matriz son los coeficientes del polinomio característico. Se llaman invariantes porque no cambian bajo transformaciones de similitud ; es decir, todos [math] X ^ {- 1} AX [/ math], donde [math] X [/ math] es una matriz no singular arbitraria, tienen invariantes idénticos. (Una transformación de similitud representa un cambio de base para la transformación lineal que define la matriz). El invariante [math] n [/ math] th, el término constante en el polinomio característico, es el determinante de la matriz. Resulta que el determinante es igual al producto de los valores propios de la matriz. Esa es la razón por la que se puede usar como criterio de singularidad, porque una matriz singular tiene al menos un valor propio cero.

Podría ser bueno saber que usar el determinante como criterio numérico para la singularidad de una matriz no es una buena idea; un pequeño determinante no necesariamente significa que la matriz está cerca de ser singular. Por ejemplo, la matriz [math] \ epsilon I [/ math], donde [math] I [/ math] es la matriz de identidad, tiene el determinante [math] \ epsilon ^ n [/ math] pero no es un problema matriz en absoluto. Para propósitos numéricos, generalmente es mejor estimar el número de condición de la matriz , en lugar del determinante, para determinar qué tan “cercana” está la matriz a una matriz singular.

Answer 3

No.

Considere el caso más simple y común. – todos los valores propios reales. Entonces el determinante es su producto. Si uno de esos valores propios es cero, eso significa que la matriz evaluada en uno o más vectores propios independientes es el vector nulo y, por lo tanto, la matriz es singular. También significa que el determinante será cero.

El determinante es un significado invariable de que su valor no cambia bajo una transformación de similitud, es decir , un cambio de base.
Sobre el campo complejo, cualquier matriz puede ser llevada a la forma normal de Jordan por una transformación de similitud, que conserva el valor del determinante. De esta forma, todas las entradas debajo de la diagonal son cero, todos los valores en la diagonal son valores propios y ciertas entradas sobre la diagonal son iguales a 1 en el caso de valores propios repetidos. Por lo tanto, el determinante de la matriz de forma normal es el producto de las entradas diagonales, que será 0 si 0 es un valor propio y, de lo contrario, no será cero. Entonces, es cierto que el determinante identifica matrices singulares, pero no muy bien; no nos dice el rango de la matriz, solo que no es máximo.

Digamos, por ejemplo, que una matriz de 5 × 5 tiene 0 como valor propio con grado 2; hay 2 vectores propios independientes para este valor propio. Luego podemos encontrar una transformación de similitud que crea una matriz 3 × 3 de determinante distinto de cero en la esquina superior izquierda y cero en otro lugar.

Answer 4

Si toma una matriz con elementos arbitrarios, de modo que no tenga “suerte” al resolverla, entonces el determinante es precisamente el número por el que deberá dividir para resolver el sistema de ecuaciones representado por ese matriz.

Aquí hay una forma de ver esto formalmente:

[matemáticas / 0203276] El polinomio característico y el determinante no son construcciones ad hoc

Otra forma de pensar sobre el determinante es que es el factor por el cual el (hiper) volumen de un (hiper) cubo cambia cuando lo envía a través del mapa lineal correspondiente a su matriz. Un endomorfismo lineal es invertible si, y solo si, no aplasta ese cubo a algo de menor dimensión, lo que podemos detectar al verificar si el volumen es cero o no. (A menudo, las personas incluyen la palabra paralelepípedo o uno de sus amigos al dar esta explicación, que he evitado a propósito. Si se encuentra con tal explicación, solo tenga en cuenta que “paralelepípedo” significa “cualquier forma que sea la imagen de un n -cubo debajo de un mapa lineal “)

Answer 5

No, la singularidad es solo una prueba degenerativa de determinante.

Determinante es el producto de pivotes (dentro de la diferencia de signo). Solo si hay pivotes no resolubles (0 pivotes), entonces el determinante se vuelve singular.
Determinante es el volumen del paralelepípedo definido por la matriz (el signo es para indicar alguna orientación del volumen). Solo si el volumen colapsa a 0, entonces el determinante se vuelve singular.

Answer 6

Una matriz singular es aquella cuya inversa no se puede calcular.

Cuando deriva la fórmula para el inverso de una matriz, los elementos que están en el denominador de la matriz inversa se denominan determinantes.

Entonces, si una matriz no se puede invertir significa que en realidad el determinante se detiene para calcular el inverso de la matriz.

Entonces, si el determinante es cero, no puede calcular el inverso.

El determinante ya existía cuando deriva la fórmula para inversa.

No solo dice acerca de la singularidad. Su función principal es calcular el inverso.

0 * x = 1 Este caso tiene infinitas soluciones. así que lo inverso no existe. determinante es 0 e inverso es 1/0 que no está definido. por lo tanto, no existe inversa donde hay infinitas soluciones.

ax + by = g

cx + dy = h

en esto, si dos ecuaciones son linealmente dependientes, entonces tienen soluciones infinitas.

entonces (a / b) x + y = g / by (c / d) x + y = h / d.

si son linealmente dependientes, entonces a / b = c / d => ad-bc = 0

determinante ad-bc = 0, entonces es singular.

Entonces, si tenemos soluciones infinitas, entonces no podemos tomar la inversa.

Inverse solo sale para la función uno a uno.

Answer 7

Creo que la mejor manera de entender el determinante es estudiar el producto tensorial de módulos y álgebras exteriores en particular. Puede parecer que es mucho entender el determinante, pero el determinante no es tan simple después de todo desde el punto de vista de la teoría. Las notas de Keith Conrad hablan de una manera muy clara, documentos expositivos, observan el producto tensorial (I y II) y las notas de potencia exterior.