¿Qué implica la investigación moderna en álgebra?

Answer 1

Editar : El Atlas matemático es actualmente, 2017, fuera de línea. Puede encontrar una copia archivada en Wayback Machine: una puerta de entrada a las matemáticas.

Hay muchas materias en matemáticas que podrían llamarse álgebra. La investigación en cualquiera de estos temas implica descubrir algo nuevo que no se ha publicado antes. El álgebra es un campo de investigación muy activo.

La puerta de entrada de Dave Rusin a las Matemáticas, The Atlas Matemático, enumera temas relacionados con el álgebra. Los números para cada tema son los del esquema de Clasificación de Materias de Matemáticas desarrollado por la American Mathematical Society y Zentralblatt für Mathematik.

• 11: teoría de números
• 20: teoría de grupo
• 22: grupos de mentiras
• 13: anillos conmutativos
• 16: teoría del anillo asociativo
• 17: teoría del anillo no asociativo
• 12: teoría de campo
• 08: sistemas algebraicos generales
• 14: geometría algebraica
• 15: Álgebra lineal
• 18: teoría de la categoría
• 19: teoría K
• 05: Combinatoria o Matemática discreta (algunas partes)
• 06: Conjuntos ordenados

Cada uno de estos tiene varios subcampos. Rusin analizó cada uno y preparó diagramas de burbujas que mostraban las conexiones.

Este es el diagrama de burbujas para el tema 14, geometría algebraica. Los tamaños relativos de las burbujas indican el número de artículos de investigación en los campos con revisiones. Tiene estos subcampos:

14A: Fundamentos
14B: Teoría local, ver también 32SXX
14C: ciclos y subesquemas
14D: familias, fibraciones
14E: Geometría biracional [Mapeos y correspondencias]
14F: Teoría de (co) homología, ver también 13DXX
14G: problemas aritméticos. Geometría diofantina, ver también 11DXX, 11GXX
14H: curvas
14J: Superficies y variedades de dimensiones superiores. Para la teoría analítica, ver 32JXX
14K: variedades y esquemas abelianos
14L: Grupos algebraicos [Esquemas grupales]. Para grupos algebraicos lineales, ver 20GXX. Para álgebras de mentiras, ver 17B45
14M: variedades especiales
14N: Geometría proyectiva y enumerativa [Métodos y problemas clásicos]. Ver también 51: Geometría.
14P: geometría real algebraica y analítica real
14Q: Aspectos computacionales en geometría algebraica, ver también 12-04, 68W30
14R: Geometría afín [nuevo en 2000]

Answer 2

Hace unos momentos publiqué la publicación Investigación contemporánea en álgebra: una nota en mi blog. Es esencialmente una descripción general de algunos temas de interés de la investigación moderna en “álgebra pura”, en oposición al uso del álgebra como una forma de ver la geometría, la teoría de números, etc. Esto puede proporcionar una descripción más detallada del tema de la investigación moderna en álgebra, o al menos algunas áreas de investigación. Esto y la respuesta de David Joyce deberían proporcionar una idea general de cómo es trabajar en álgebra. Pero, la única forma en que realmente lo sabrás es intentándolo.

Esta pregunta es muy antigua, pero espero que mi publicación sea útil para alguien.