¿Por qué el conjunto de polinomios de grado igual a dos no forma un espacio vectorial?

Answer 1

Editar: Andrew Weimholt señala que los polinomios de grado dos excluyen estrictamente los polinomios de grado uno y cero, que deben incluirse para obtener un espacio vectorial. Mi respuesta original supone que estaban destinados a ser incluidos.

Es un espacio vectorial en el sentido de álgebra lineal, en el que puede tomar triples [matemáticas] (a, b, c) [/ matemáticas] de coeficientes que representan polinomios [matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas] y hacer Además y multiplicación escalar en ellos para obtener otros polinomios válidos de grado 2.

Simplemente no es un espacio vectorial topológico (y en particular no es un espacio euclidiano o un espacio de Hilbert) que es matemático-habla de lo que los físicos normalmente hablan cuando mencionan vectores. Esa es una construcción más complicada que básicamente tiene un espacio vectorial de álgebra lineal separado en cada punto de un espacio más grande (piense en un campo Vector), con algún tipo de topología que relacione las direcciones de los vectores en los espacios en los puntos vecinos.

Lamentablemente, los físicos siembran confusión sobre esto porque en Física 101 comenzamos presentando desplazamientos finitos en el espacio como el vector prototípico. Sin embargo, eso combina lo que está sucediendo en un solo punto con la geometría del espacio más grande, que se descompone cuando considera sistemas de coordenadas no cartesianos (esféricos, cilíndricos, etc.) o cuando llega a la Relatividad general.

Answer 2

¿Qué se requiere para que un conjunto sea un espacio vectorial? El primero de los dos ingredientes clave es que puedes tomar cualquier vector, multiplicarlo por un escalar y obtener otro vector en el espacio. El segundo ingrediente clave es que puede tomar dos vectores, sumarlos y obtener otro vector en el espacio.

Para ver por qué los polinomios de grado dos no califican, trate de pensar en formas en que se puedan violar estos dos ingredientes. Aquí hay un ejemplo fácil:

[matemáticas] \ vec v_1 = x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec v_2 = -x ^ 2 + x + 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ vec v_1 + \ vec v_2 = 2x + 2 [/ matemáticas]

¿Es [matemáticas] 2x + 2 [/ matemáticas] un polinomio de grado dos? No. Su grado es 1. Entonces, vemos que no todas las sumas de vectores siguen siendo vectores, por lo que este no es un espacio vectorial.

Answer 3

Si dice “el conjunto de polinomios de grado menor o igual a dos”, entonces tiene un espacio vectorial de dimensión tres. Si elimina el “menor que” e insiste en el conjunto de polinomios con un coeficiente de segundo orden distinto de cero, es como sacar un plano completo del espacio, y ya no es un espacio vectorial.

Answer 4

Un conjunto NUNCA es un espacio vectorial. Un conjunto Y una operación en este conjunto, por otro lado, podría ser un espacio vectorial.