Cuando las tuberías se congelan, el agua en ellas se expande y a veces rompe la tubería. Pero sucede algo interesante si miras 100 tuberías rotas. Casi todos tienen la ruptura a lo largo de la tubería, nunca alrededor de su circunferencia.
El material de la tubería es casi el mismo en ambas direcciones, entonces, ¿por qué la tubería se rompe en una sola?
Cuando el hielo comienza a presionar contra el interior de la tubería, el material de la tubería se pone bajo tensión. Esto significa que si tuviera que cortar una pequeña ranura en la tubería, tendría que tirar con fuerza a ambos lados de la ranura para mantenerla cerrada. Además, la cantidad que tira depende de la longitud de la hendidura. Tendrá que tirar el doble de fuerza para mantener cerrada una ranura de 2 cm en comparación con una ranura de 1 cm. Cuando la tensión se vuelve tan alta que la resistencia cohesiva del metal es demasiado débil para mantenerla unida, el tubo explota.
Sin embargo, la razón por la que explota en una dirección es que la tensión es mayor en esa dirección. La fuerza necesaria para mantener una hendidura cerrada depende no solo de la longitud de la hendidura, sino también de la dirección de la hendidura. Ori Barbut mostró un cálculo explícito de esto en su respuesta a ¿Por qué es más difícil volar un globo largo que uno redondo? Resulta que la tensión es exactamente el doble en la dirección longitudinal que en la dirección circunferencial.
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Una vez que conocemos la tensión en estas dos direcciones, podemos determinar la fuerza necesaria para mantener cerrada cualquier hendidura. Si la hendidura es de 1 cm en un ángulo de 45 grados, envolviéndose diagonalmente como un poste de barbero, por ejemplo, la fuerza necesaria está a medio camino para una hendidura de 1 cm en cada una de las dos direcciones originales.
Todo esto es válido siempre que la tubería sea homogénea. En general, la tensión podría cambiar de un lugar a otro, y si tenemos una hendidura larga y torcida, sería más complicado encontrar la fuerza para mantenerlo cerrado. Sin embargo, mientras nuestras rendijas sean pequeñas, lo que acabamos de decir es válido.
Esta tensión bidimensional es un ejemplo de tensor. Específicamente, es un tensor de rango dos. Puedes pensarlo como una función. La entrada a la función es un vector, en este caso un vector que describe una hendidura en la tubería (la hendidura tiene magnitud y dirección, por lo que es un vector). Su salida es otro vector: la fuerza necesaria para mantener la hendidura cerrada. Entonces, un tensor de rango dos, en general, es una función lineal de vectores a vectores. (La parte “lineal” es lo que asumimos al decir que una hendidura dos veces más larga requiere el doble de la fuerza, y que una hendidura en ángulo puede calcularse si sabe lo que sucede para las hendiduras longitudinales y de circunferencia). El tensor no es la hendidura. sí mismo o la fuerza misma. Es una relación entre las posibles rendijas y las fuerzas que serían necesarias para mantenerlas cerradas.
La presión es otro tensor muy similar a la tensión. De hecho, la presión es básicamente una tensión negativa. Por lo general, pensamos que la presión es solo un número. Pero en realidad, es una función lineal que mapea superficies planas en fuerzas (cualquier superficie plana tiene una fuerza sobre ella debido a la presión). Cuando la presión es la misma en todas las direcciones, podemos pensar que es solo un número, pero cuando se empuja de manera desigual, como podría ocurrir dentro de un cristal cuya estructura selecciona direcciones especiales, necesitamos la descripción del tensor.
Muchas otras cantidades físicas familiares pueden ser representadas por tensores, como la tensión mecánica de un sólido, el momento de inercia de una distribución de masa, la polarización de un dieléctrico, el momento cuadrupolo de una distribución de carga y, en matemáticas superiores, incluso ¡El teorema de Pitágoras! (El teorema de Pitágoras como tensor se llama “la métrica”).
Podemos generalizar fácilmente la idea a tensores de diferente rango. Un tensor de rango tres tendría dos vectores como entrada y un vector como salida. Un rango cuatro implicaría cuatro vectores. También existe un tensor de rango uno. Toma un vector y genera “cero vectores”, lo que significa solo un número. Pero un vector también puede hacer eso. Tome un vector A, y para cualquier vector de entrada B, genere el producto de punto de A y B. ¡Ahora el vector A se convierte en un tensor de rango uno! Incluso hay tensores de rango cero: son solo números, aunque generalmente nos referimos a ellos como “escalares”.
Al describir la geometría curva de la relatividad general, se usa un tensor de rango cuatro llamado tensor de curvatura de Riemann. Tiene tres entradas: un vector que apunta en la dirección que le interesa y dos vectores más que crean un paralelogramo cuando se juntan. Tomas el primer vector y lo caminas alrededor del borde del paralelogramo. Cuando regrese a donde comenzó, se rotará ligeramente si el espacio-tiempo es curvo (este es el significado de “espacio-tiempo curvo”). El cambio en el primer vector debido a esta rotación es la salida del tensor.
La relatividad es conocida por su uso intensivo de tensores. Algunos otros importantes son el tensor métrico, mencionado anteriormente, y el tensor de energía de estrés, que es la versión de espacio-tiempo de cuatro dimensiones del tensor de presión, así como varias cantidades que se derivan haciendo operaciones en estos tensores.
A veces verá la definición básica de un tensor descrita de manera diferente. También puede pensar que un tensor de rango dos toma dos vectores como entrada y tiene un número como salida. Esta es la misma idea que antes, pero la entrada sería la hendidura que corte y un vector unitario en alguna dirección. El número sería el componente de la fuerza en esa dirección. La forma de pensarlo mejor depende de la situación precisa.
Si ha estudiado álgebra lineal, un tensor de rango dos es un operador lineal. (Nota: estoy pasando por alto la importante diferencia entre un espacio vectorial y su doble). Si elige una base, no se diferencia de una matriz. Todos son básicamente la misma idea. La diferencia es que una matriz se define como un grupo de números en una matriz con ciertas reglas sobre cómo hacer álgebra en ella. Un tensor es la relación real entre cantidades físicas, y la matriz puede representar ese tensor.
Por lo general, no insistimos mucho en esto. Los físicos prefieren una forma diferente de hacer un seguimiento de sus tensores, llamada notación de índice. Lleva un tiempo acostumbrarse, pero nos permite manipular tensores de rango tres, cuatro o más, lo que sería imposible con las matrices. (Un tensor de rango tres requeriría una “matriz” que se parece a un cubo. No confunda el rango del tensor, que es cuántos vectores toma como entrada, con la dimensión en la que está trabajando. el tensor de presión ordinario es de rango dos, lo que significa que hay dos vectores involucrados, pero la dimensión tres significa que los vectores están en tres dimensiones. El tensor de curvatura de Riemann en GR es de rango cuatro y dimensión cuatro).
Una razón por la que a los físicos les gustan los tensores es que el tensor no depende de las coordenadas que utiliza. Para nuestra tubería, podríamos definir la dirección x para bajar la longitud de la tubería y la dirección y para rodear la tubería. Entonces, si quisiéramos una fórmula para la fuerza necesaria para mantener cerrada una rendija en una dirección arbitraria, se vería bastante descuidada. Tendría que decirnos que tomemos la parte x del vector de hendidura y multipliquemos eso por T1 por algún vector unitario, luego tome la parte y y multiplique eso por T2 por un vector unitario, luego sume esos. Además, podríamos haber tomado la dirección x para envolver diagonalmente alrededor del poste en el sentido de las agujas del reloj, y la dirección y para envolver y rodear el poste en el sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces tendríamos una fórmula aún más complicada con diferentes números. Sin embargo, con un tensor, simplemente podemos escribir F = TS, lo que significa que la fuerza es la tensión que actúa sobre la ranura, o en notación de índice
[matemáticas] F ^ a = T ^ a_bS ^ b [/ matemáticas]
y esta fórmula se ve igual sin importar qué sistema de coordenadas usemos. (Sin embargo, a medida que cambiemos los sistemas de coordenadas, los valores numéricos de cosas como [math] T ^ a_b [/ math] cambiarán).
Después de todo, las coordenadas son solo una elección tonta que hicimos, una cuadrícula imaginaria que pegamos en la superficie. La física no debería depender de eso, y la notación tensorial es una forma de hacer explícito este concepto. De hecho, es tan importante que cierta literatura de física en realidad define un tensor por lo que le sucede cuando cambia las coordenadas.
Entonces, un tensor es una forma de representar una relación lineal entre cantidades vectoriales. Es especialmente importante en la mecánica del continuo, la relatividad y algunas áreas de matemáticas superiores, y nos gustan porque muestran la independencia coordinada de las leyes físicas.