No, las dos expresiones no son iguales. Para mostrar la diferencia entre ellos, separemos estas expresiones en sus partes esenciales y calculemos el producto de puntos.
El operador [math] \ nabla [/ math] es el gradiente:
[matemática] \ nabla = \ frac {\ parcial} {\ parcial x} [/ matemática] i [matemática] + \ frac {\ parcial} {\ parcial y} [/ matemática] j [matemática] + \ frac {\ parcial} {\ parcial z} [/ matemáticas] k
Cálculo de la primera expresión con A [matemática] = A_1 [/ matemática] i [matemática] + A_2 [/ matemática] j [matemática] + A_3 [/ matemática] k :
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[matemática] \ nabla. [/ matemática] A [matemática] = (\ frac {\ partial} {\ partial x} [/ matemática] i [matemática] + \ frac {\ parcial} {\ parcial y} [/ matemática ] j [matemáticas] + \ frac {\ parcial} {\ parcial z} [/ matemáticas] k [matemáticas]) [/ matemáticas] . ([matemática] A_1 [/ matemática] i [matemática] [/ matemática] + [matemática] A_2 [/ matemática] j + [matemática] A_3 [/ matemática] k [matemática] [/ matemática])
[matemáticas] \ displaystyle = \ frac {\ partial A_ 1} {\ partial x} + \ frac {\ partial A_ 2} {\ partial y} + \ frac {\ partial A_ 3} {\ partial z} [/ math ]
= div ( A )
Por lo tanto, la expresión anterior es igual a la divergencia de la función de valor vectorial A.
Calculando la segunda expresión:
A. [matemática] \ nabla = (A_1 [/ matemática] i [matemática] [/ matemática] + [matemática] A_2 [/ matemática] j + [matemática] A_3 [/ matemática] k [matemática] [/ matemática]) . [matemática] (\ frac {\ partial} {\ partial x} [/ matemática] i [matemática] + \ frac {\ parcial} {\ parcial y} [/ matemática] j [matemática] + \ frac {\ parcial} {\ parcial z} [/ matemáticas] k [matemáticas]) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ displaystyle = A_ 1 \ frac {\ partial} {\ partial x} + A_ 2 \ frac {\ partial} {\ partial y} + A_ 3 \ frac {\ partial} {\ partial z} [/ math ]
El resultado y la expresión anteriores representan un operador.
Aquí hay un ejemplo de cómo se puede aplicar este operador (a una función escalar):
( A. [matemáticas] \ nabla) \ phi = (A_ 1 \ frac {\ partial} {\ partial x} + A_ 2 \ frac {\ partial} {\ partial y} + A_ 3 \ frac {\ partial} { \ parcial z}) \ phi [/ matemáticas]
[matemática] [/ matemática] [matemática] \ displaystyle = A_ 1 \ frac {\ partial \ phi} {\ partial x} + A_ 2 \ frac {\ partial \ phi} {\ partial y} + A_ 3 \ frac { \ partial \ phi} {\ partial z} [/ math]
[matemáticas] = [/ matemáticas] A. [matemáticas] \ nabla \ phi [/ matemáticas]
El operador anterior también se puede aplicar a una función B con valor vectorial y se obtiene el resultado:
( A. [matemáticas] \ nabla) [/ matemáticas] B [matemáticas] = A. \ nabla [/ matemáticas] B