La forma habitual en que algunos demuestran la unicidad es la siguiente:
Suponga que hay [matemática] x, y \ en H [/ matemática] tal que [matemática] \ langle x, e_n \ rangle = a_n = \ langle y, e_n \ rangle \ forall n \ in \ mathbb {N} [ /matemáticas]. Entonces podemos echar un vistazo a la diferencia [matemáticas] xy [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que esto todavía se encuentra en [matemáticas] H [/ matemáticas], porque es un espacio vectorial.
Obtenemos:
[matemática] \ langle x – y, e_n \ rangle = \ langle x, e_n \ rangle – \ langle y, e_n \ rangle = 0 [/ math] por la linealidad del producto interno.
Otra propiedad del producto interno es que si [math] \ langle a, b \ rangle = 0 \ forall b [/ math] entonces [math] a = 0 [/ math].
Con esto concluimos que [math] xy = 0 [/ math]. Entonces, dos soluciones a su ecuación son iguales. Por lo tanto, solo hay una solución.
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