Es un teorema que da las condiciones necesarias y suficientes para que una matriz cuadrada sea invertible. Esta es una respuesta 100% correcta pero completamente inútil, por lo que intentaré elaborarla discutiendo algunas de las ideas relacionadas con esto.
Una matriz cuadrada se puede asociar con un conjunto de ecuaciones lineales [matemáticas] M [/ matemáticas] en [matemáticas] N [/ matemáticas] incógnitas donde [matemáticas] M = N [/ matemáticas]. En otras palabras, tiene tantas ecuaciones como incógnitas. La invertibilidad de la matriz asociada corresponde a poder resolver el conjunto de ecuaciones para cualquier lado derecho dado. Conocer las condiciones cuando esto es posible es útil tanto directamente para evitar que pierdas tu tiempo resolviendo sistemas de ecuaciones que podrían no ser solucionables como también indirectamente al unir varios conceptos algebraicos lineales.
Un punto más: aparte de los sistemas de ecuaciones, las matrices cuadradas también pueden representar asignaciones lineales de un conjunto de variables [matemáticas] N [/ matemáticas] en un conjunto de variables [matemáticas] N [/ matemáticas].
En general, la invertibilidad de cualquier función requiere dos cosas: que la función sea uno a uno (también llamada “inyectiva”) y que la función sea sobre (también llamada “sobreyectiva”). Uno a uno significa que si tomo dos variables diferentes [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas] como entradas, las salidas [matemáticas] f (x) [/ matemáticas] y [matemáticas] f (y) [/ math] no son lo mismo. Por ejemplo, [matemática] f (x) = x [/ matemática] es uno a uno, pero [matemática] g (x) = x ^ 2 [/ matemática] no lo es, ya que [matemática] g (1) = 1 = g (-1) [/ matemáticas]. Onto significa que cada valor en la “salida” (o rango) se asigna a algún valor en la “entrada” (o dominio). Por ejemplo, la función [math] f (x) = x [/ math] con [math] x [/ math] como miembro de cualquier conjunto está en el mismo conjunto. La función [matemáticas] g (x) = x ^ 2 [/ matemáticas] con la entrada como un número real no está en los números reales, ya que la salida solo puede ser positiva (es decir, no puede obtener [matemáticas] x ^ 2 = -1 [/ math] para cualquier valor real [math] x [/ math]).
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Si bien la terminología de esto no es necesariamente intuitiva, los conceptos sí lo son. Si tiene dos entradas que se asignan a la misma salida (es decir, si tiene una función que no es uno a uno), entonces si se le da esa salida, no puede decir de cuál de esas dos entradas proviene ( es decir, no puede especificar una función bien definida que asigne la salida a la entrada; es decir, la función no es invertible). Si tiene un conjunto de salidas donde algunas de las posibles entradas no asignan algunas de las salidas, entonces no puede definir una función inversa de esas salidas a las posibles entradas.
Como nota al margen, resulta que los conceptos de “uno a uno” y “sobre” son equivalentes para funciones lineales de dimensión finita.
¿Qué son las funciones lineales? Son funciones que asignan espacios vectoriales a otros espacios vectoriales y satisfacen ciertas propiedades de “linealidad”. Los espacios vectoriales pueden considerarse intuitivamente como generalizaciones de líneas y planos. Una forma de interpretar estas propiedades de “linealidad” de las transformaciones lineales es que toman líneas / planos en otras líneas / planos usando solo rotación, estiramiento, compresión y / o volteo. Naturalmente, entonces, para que una función lineal sea invertible, tiene que mapear entre líneas / planos de una dimensión a líneas / planos de la misma dimensión. Esto tiene sentido intuitivo: no hay forma de estirar, comprimir, rotar o voltear una línea para hacer un plano fuera de ella. Esta restricción de dimensionalidad se satisface parcialmente por el hecho de que estamos tratando con una matriz cuadrada. Asegura que no estamos mapeando una línea en un plano. Pero si bien las funciones lineales no proporcionan un medio para estirar una línea en un plano, sí permiten comprimir un plano en una línea. Por ejemplo, el mapa [math] f (x, y) = x [/ math] comprime la dimensión [math] y [/ math] en nada pero sigue siendo una función lineal según las definiciones. Por lo tanto, necesitamos condiciones para garantizar que esto no suceda.
Resulta que es posible reducir la mayoría de las condiciones sobre la invertibilidad de una matriz a este concepto intuitivo. Por ejemplo, una matriz es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero. El determinante de una matriz puede interpretarse como un tipo de escala de área / volumen de la transformación lineal asociada. Es decir, si toma un cuadrado en el dominio de entrada de un área en particular, aplica la transformación lineal a todos los puntos en el cuadrado, luego toma el área del resultado, la razón de las dos áreas es el determinante de la matriz asociada . Esto proporciona una interpretación clara: si el determinante de la matriz es cero, la transformación lineal asociada colapsa una dimensión, es decir, asigna un “plano” en una “línea”. La información sobre la dimensión contraída se pierde en la salida y, por lo tanto, la transformación no se puede revertir. Por ejemplo, con [matemática] f (x, y) = x [/ matemática] donde la dimensión [matemática] y [/ matemática] está contraída, ambas [matemática] f (1,0) = 1 [/ matemática] y [matemática] f (1,1) = 1 [/ matemática] por lo que no se puede distinguir entre [matemática] (1,0) [/ matemática] y [matemática] (1,1) [/ matemática] simplemente viendo salida, por lo que la matriz no es invertible. En otras palabras, el plano [matemático] (x, y) [/ matemático] que contiene ancho y largo se contrae en la línea [matemático] x [/ matemático] que contiene solo largo para que la información de ancho se pierda y no pueda reconstruirse .
Básicamente, cualquier otra condición que uno pueda afirmar acerca de la invertibilidad de una matriz puede interpretarse a lo largo de estas líneas. Por ejemplo, la invertibilidad es equivalente a que todos los valores propios de una matriz sean distintos de cero. Los valores propios se pueden interpretar como factores de escala de las dimensiones de un espacio vectorial, por lo que un valor propio cero se puede interpretar como comprimir un eje a nada. Etcétera etcétera.