Hay bastantes nociones diferentes de norma de matriz: norma de matriz. Como menciona específicamente la norma euclidiana, sospecho que debe referirse a la norma sup inducida, que se define como (para un operador lineal [matemática] A [/ matemática]):
[matemáticas] \ sup _ {\ | x \ | = 1} \ | Hacha \ | [/matemáticas]
Para ponerlo en palabras, la norma sup mide cuánto el operador [matemática] A [/ matemática] estira el espacio; específicamente, si observa todos los vectores unitarios, la norma sup es solo la cantidad máxima que [matemática] A [/ math] puede estirar estos vectores.
Para hacer esta definición un poco más geométrica, imagine el conjunto de todos los vectores unitarios como una esfera. Si aplica [matemáticas] A [/ matemáticas] a cada punto de esta esfera, obtendrá algún tipo de elipsoide (tenga en cuenta que [matemáticas] A [/ matemáticas] podría aplanar este elipsoide a lo largo de algunos ejes). Lo más alejado del origen que cualquier punto está en este elipsoide es exactamente la norma sup.
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Por ejemplo, considere la matriz [math] \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math]. Un poco de reflexión debería sugerir que el vector unitario que más se estirará con esta matriz será [math] \ begin {pmatrix} 0 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math]: se mueve a [math] \ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ end {pmatrix} [/ math], y así se estira a una longitud de [math] \ sqrt {2} [/ math]. Una mirada a la imagen te dice lo mismo:
¿Pero cómo podrías calcular esto rigurosamente? Bueno, en general, dado que tiene una matriz cuadrada con la que trabajar, siempre puede encontrar los valores singulares; el más grande será la norma sup. Sin embargo, hay una solución geométrica mucho más simple para su problema. Piénselo de esta manera: ¿qué le hace una rotación al círculo unitario? Responda esta pregunta y verá cuál es la norma.