Cómo demostrar que el producto de dos matrices triangulares superiores forma una matriz triangular superior

Answer 1

Deje A y B ser matrices triangulares superiores de tamaño nxn.
Deje que [math] a_ {ij} [/ math] sea el elemento en la fila i, columna j de A.
Deje que [math] b_ {ij} [/ math] sea el elemento en la fila i, columna j de B.
La propiedad clave de una matriz triangular superior es que si [matemática] i> j [/ matemática] (es decir, si el número de columna es menor que el número de fila) entonces [matemática] a_ {ij} = b_ {ij} = 0 [/matemáticas]
Todo a la izquierda de la diagonal es 0.

Según la definición de multiplicación matricial, el valor en la fila i, columna j de [math] (AB) [/ math] viene dado por:
[matemáticas] (AB) _ {ij} = \ sum_ {k = 1} ^ {n} a_ {ik} b_ {kj} [/ matemáticas]

Dividamos esta suma en dos partes, una para el índice k que va de 1 a i-1, la otra que va de i a n.
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {i-1} a_ {ik} b_ {kj} + \ sum_ {k = i} ^ {n} a_ {ik} b_ {kj} [/ matemáticas]

Ahora, para la primera parte de la suma, si miramos los términos de la matriz A, tenemos k <i. Entonces [matemáticas] a_ {ik} = 0 [/ matemáticas]. Esto significa que la primera suma desaparece.

Te quedan con:
[matemáticas] (AB) _ {ij} = \ sum_ {k = i} ^ {n} a_ {ik} b_ {kj} [/ matemáticas]

Ahora mire j, y los términos [matemáticas] b_ {kj} [/ matemáticas].
Tenemos que [matemáticas] k \ geq i [/ matemáticas].
Entonces, si [matemáticas] i> j [/ matemáticas], entonces [matemáticas] k> j [/ matemáticas]. Eso significa un número de columna menor que el número de fila, que es cero para un triangular superior.

Esto significa que [math] (AB) _ {ij} = 0 [/ math] if [math] j.

Lo que implica que [math] AB [/ math] es triangular superior.

QED

NOTA:
El mismo tipo de idea te dará que el producto de los triangulares inferiores también es triangular inferior.

Preguntas para los profesionales de matemáticas:
Esto significa que los triangulares superiores son un conjunto cerrado bajo multiplicación y suma. ¿La matriz de identidad es triangular? Me lo imagino. ¿Qué pasa con la matriz cero? Parecería serlo.
¿Entonces forman un anillo?

Answer 2

Al igual que con muchos resultados en álgebra lineal, esto se entiende mejor en términos de la correspondencia entre matrices y transformaciones lineales. Dejar

[matemáticas] V_i = \ langle e_1, \ ldots, e_i \ rangle \ subset \ mathbb {R} ^ n [/ math]

ser el subespacio que abarcan los primeros i vectores básicos. Entonces una matriz n por n A es triangular superior si y solo si la transformación lineal T correspondiente conserva cada uno de estos subespacios:

[matemáticas] T (V_i) \ subconjunto V_i [/ ​​matemáticas]

por todo lo i. Una composición de transformaciones lineales con esta propiedad tiene esta propiedad, por lo que un producto de matrices triangulares superiores es triangular superior.

Answer 3

Esto es sencillo si sabe cómo se define el producto de una matriz.

Sea [math] A [/ math] y [math] B [/ math] las dos matrices triangulares superiores de entrada y [math] C [/ math] sea la matriz del producto. Tenemos que demostrar que [matemáticas] C [/ matemáticas] es una matriz triangular superior.

¿Cómo se define cada valor de [matemáticas] C [/ matemáticas]?

[matemáticas] C_ {i, j} [/ matemáticas] = [matemáticas] A_i * B_j [/ matemáticas]

En otras palabras, el elemento [math] (i, j) ^ {th} [/ math] de [math] C [/ math] se obtiene haciendo un producto interno de [math] i ^ {th} [/ math ] fila de [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] j ^ {th} [/ matemáticas] columna de [matemáticas] B [/ matemáticas]

Consideremos una matriz simple de 3 x 3 como ejemplo.

Suponga que [matemáticas] A [/ matemáticas] y [matemáticas] B [/ matemáticas] son ​​iguales.
[matemáticas]

\ begin {pmatrix}
1 y 2 y 3 \\
0 y 4 y 5 \\
0 y 0 y 6
\ end {pmatrix} [/ math]

[matemática] C_ {1,1} [/ matemática] = [matemática] A_ {1} * B_ {1} [/ matemática] que es 1 + 0 + 0
[matemática] C_ {1,2} [/ matemática] = [matemática] A_ {1} * B_ {2} [/ matemática] que es 2 + 8 + 0
[matemática] C_ {1,3} [/ matemática] = [matemática] A_ {1} * B_ {3} [/ matemática] que es 3 + 10 + 18
[matemáticas] C_ {2,1} [/ matemáticas] = [matemáticas] A_ {2} * B_ {1} [/ matemáticas] que es 0 + 0 + 0
[matemática] C_ {2,2} [/ matemática] = [matemática] A_ {2} * B_ {2} [/ matemática] que es 0 + 16 + 0
[matemática] C_ {2,3} [/ matemática] = [matemática] A_ {2} * B_ {3} [/ matemática] que es 0 + 20 + 30
[matemática] C_ {3.1} [/ matemática] = [matemática] A_ {3} * B_ {1} [/ matemática] que es 0 + 0 + 0
[matemáticas] C_ {3,2} [/ matemáticas] = [matemáticas] A_ {3} * B_ {2} [/ matemáticas] que es 0 + 0 + 0
[matemática] C_ {3,3} [/ matemática] = [matemática] A_ {3} * B_ {3} [/ matemática] que es 0 + 0 + 36

[matemáticas] C [/ matemáticas] = [matemáticas] \ begin {pmatrix}
1 y 10 y 31 \\
0 y 16 y 50 \\
0 y 0 y 36
\ end {pmatrix} [/ math]

Cuando observa cómo se generan los elementos de [math] C [/ math], puede observar que el producto [math] A_i * B_j [/ math] es cero siempre que [math] i> j [/ math] porque es un matriz triangular superior Esto no es más que el elemento [matemáticas] C_ {i, j} [/ matemáticas]

Answer 4

Deje que [math] A [/ math] sea una matriz triangular superior. Entonces [math] A_ {ij} [/ math] no es cero solo si [math] i \ leq j [/ math].

Ahora dejemos que [math] C = AB [/ math] donde [math] A, B [/ math] son ​​matrices triangulares superiores del mismo tamaño. Entonces
[matemáticas] C_ {ij} = \ sum_k A_ {ik} B_ {kj} [/ matemáticas]
Para [matemática] i, j [/ matemática] dada, esta suma solo será distinta de cero si hay alguna [matemática] k [/ matemática] con [matemática] i \ leq k \ leq j [/ matemática] (de lo contrario, al menos uno de [matemáticas] A_ {ik}, B_ {kj} [/ matemáticas] se desvanecerá) lo que claramente requiere [matemáticas] i \ leq j [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] C [/ matemática] es triangular superior.