Tres vectores que se encuentran en el plano son linealmente dependientes. ¿Cómo pruebo esta declaración?

Answer 1

* A2A

No sé por qué me lanzaron esta pregunta, parece una pregunta de [matemáticas] 2–3 [/ matemáticas] años atrás. Ha pasado un tiempo desde que hice esto, veamos qué puedo hacer …

• Tres vectores [matemática] \ left \ {u, v, w \ right \} [/ math], ya que se encuentran en el mismo plano se denominan vectores coplanares . Esto significa que no pueden formar un sólido. Sólido significa tridimensional, ¿verdad?

El volumen de un sólido con tres vectores viene dado por

[matemáticas] \ begin {align} \ text {Volumen de un V de paralelopípedo} & = u \ cdot (v \ times w) \ qquad (\ text {También conocido como producto triple escalar}) \\ & = (u_1, u_2 , u_3) \ cdot \ begin {vmatrix} i & j & k \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 & w_3 \ end {vmatrix} \\ & = \ begin {vmatrix} u_1 & u_2 & u_3 \\ v_1 & v_2 & v_3 \\ w_1 & w_2 {v w_3 vmatrix} \\ & = 0 \ end {align} \ tag * {} [/ math]

• Si mi conocimiento del álgebra lineal todavía está intacto, me dice: tome tres vectores, haga una combinación lineal de los vectores y póngalo igual a cero. Cuando lo resuelve para las constantes, todas ellas no pueden ser cero. Si obtiene la solución trivial, los vectores son linealmente independientes y siempre dependientes si al menos un escalar tiene un valor distinto de cero.

Answer 2

Las respuestas existentes [a matemáticas] 4 [/ matemáticas] a esta pregunta responden suficientemente la pregunta. Desde que tuve A2A, solo tengo dos cosas que decir.

En álgebra lineal ,

1. el rango de una matriz [matemática] A [/ matemática] es la dimensión del espacio vectorial atravesado por sus columnas.
2. Las columnas de la matriz cuadrada de rango completo [matemáticas] \ iff [/ matemáticas] de la misma matriz son linealmente independientes.

Espero que esto ayude.

Answer 3

Cualquier plano está definido por dos vectores [math] \ vec v_1 [/ math] y [math] \ vec v_2 [/ math]. (Estos vectores no son únicos y deben ser linealmente independientes, pero eso no importa aquí).

Por definición, si [matemáticas] \ vec a, \ vec b, \ vec c [/ matemáticas] se encuentran en ese plano, se pueden escribir como combinaciones lineales

[matemáticas] \ vec A = A_1 \ vec v_1 + A_2 \ vec v_2, [/ matemáticas] etc.

Ahora considere el sistema de ecuaciones

[matemáticas] x A_1 + y B_1 + z C_1 = 0, [/ matemáticas]

[matemáticas] x A_2 + y B_2 + z C_2 = 0. [/ matemáticas]

Un sistema homogéneo de dos ecuaciones lineales con tres incógnitas está subdeterminado y, por lo tanto, tiene múltiples soluciones con [matemáticas] (x, y, z) \ not = (0,0,0) [/ matemáticas]. Resulta que

[matemáticas] x \ vec A + y \ vec B + z \ vec C [/ matemáticas]

[matemáticas] = x (A_1 \ vec v_1 + A_2 \ vec v_2) + y (B_1 \ vec v_1 + B_2 \ vec v_2) + z (C_1 \ vec v_1 + C_2 \ vec v_2) [/ matemática]

[matemáticas] = (x A_1 + y B_1 + z C_1) \ vec v_1 + (x A_2 + y B_2 + z C_2) \ vec v_2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 0 \ vec v_1 + 0 \ vec v_2 = \ vec 0. [/ matemáticas]

Answer 4

Como Prashant ya respondió a su pregunta, intentaré responderla de una manera genial. Deje que sus tres vectores sean A, B y C.

Recordemos el triple producto escalar:

Como A, B y C son coplanares, A ● (BxC) = 0. Por lo tanto, la matriz que se muestra arriba con filas iguales a las componentes de los tres vectores tiene un determinante 0 y, por lo tanto, es singular.

Las matrices singulares tienen un rango incompleto, por lo tanto, el conjunto de vectores formado por los elementos de la fila depende linealmente.

Answer 5

Te daré el bosquejo.
Hay 2 casos:
– Los tres vectores están en la misma línea. Luego puede encontrar los números apropiados a, byc dependiendo de las longitudes y direcciones de los vectores.
– Los tres vectores no se encuentran en la misma línea. Entonces debe haber dos vectores que no sean paralelos. Entonces, estos abarcan todo el espacio 2D y el tercer vector puede representarse como una combinación lineal de estos vectores.

Answer 6

Es un tema amplio que puede explicarse por Matriz, grupo de ecuaciones lineales o grupo de vectores.
He hablado de esto en un documento (10 páginas, aproximadamente 20 páginas después de la traducción), pero está escrito en chino.
Tengo que hacer un examen muy importante, así que no tengo tiempo para traducir.
Puede enviarme un correo electrónico para obtenerlo si tiene un amigo chino que pueda traducirlo por usted. ( [Correo electrónico protegido] )

En breve:

William Thomas Waller había hablado sobre el significado del Vector, Claramente, Si podemos encontrar un vector D que sea perpendicular a A y B al mismo tiempo.
Y si C es perpendicular a D, eso significa ABC en el mismo plano.

La existencia de una solución distinta de cero en Matrix contribuido a través del vector A, B, C puede demostrar que también están en el mismo plano.
Y Matrix puede verse como un grupo de ecuaciones lineales.

Answer 7

Si dos de A, B o C son colineales, entonces son linealmente dependientes. Por lo tanto, suponga que dos de ellos, digamos A y B, son linealmente independientes. Entonces A y B forman una base para el plano que es bidimensional. Por lo tanto, cada vector en el plano puede representarse como una combinación lineal de A y B. Por lo tanto, considere cualquier vector en el plano y llámelo C. Luego existen los escalares ayb para

[matemáticas] C = aA + bB. [/ matemáticas]

Esto se puede reorganizar para leer [matemática] aA + bB + (- 1) C = 0. [/ Matemática] Listo.

Answer 8

El método determinante es el mejor, pero una forma cruda pero simple sería demostrar que cualquier intento de resolver un trío de ecuaciones simultáneas como

a1x + a2y + a3z = 1

b1x + b2y + b3z = 2

c1x + c2y + c3z = 3

lleva a 0 = 0 o algo ridículo como 3 = 7 hará el truco.