La distancia más corta entre una línea, L y un punto, P, es la longitud de la línea que es perpendicular a L y va de un punto en L al punto P.
Esta idea general de líneas perpendiculares también se aplica a dos líneas, excepto que nuestra nueva línea debe ser perpendicular a ambas.
Todo esto es un poco más fácil de hacer en forma vectorial, así es como lo daré.
dejar:
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L1 sea r = a + s b , y L2 sea r = c + t d .
donde r es el vector de posición de cualquier punto en una línea; ayc son los vectores de posición de un punto que se encuentra en L1 y L2 respectivamente; syt son escalares; y byd son vectores paralelos a L1 y L2 respectivamente.
Un vector perpendicular a L1 y L2 es el producto cruzado de los dos vectores direccionales:
n = b x d
y el vector unitario, n hat , se divide por la magnitud de n :
n sombrero = ( b x d ) / | b x d |
Si P es un punto en L1 y Q es un punto en L2, entonces podemos encontrar el vector QP al encontrar la diferencia entre ( a + s b ) y ( c + t d ) ya que estos dan los vectores de posición de cualquier punto en las líneas:
QP = a – c + s b – t d
La distancia más corta entre L1 y L2 es la proyección de QP en n . Es decir, el producto escalar de QP yn , todo dividido por la magnitud de n . Ya encontramos n dividido por la magnitud de n como n hat . Entonces:
Distancia más corta = QP. n sombrero
= ( a – c + s b – t d ) . (( b x d ) / | b x d | )
= (( a – c + s b – t d ) . ( b x d )) / | b x d |
= (( a – c ) . ( b x d ) + s b. ( b x d ) – t d . ( b x d )) / | b x d |
Desde b. ( b x d ) = d . ( b x d ) = 0 (la proyección de x o y on ( x x y ) siempre es cero), podemos reducir esa ecuación a:
Distancia más corta = | ( a – c ) . ( b x d ) / | b x d | El |
El producto y la división de puntos son lineales (como se ve en la simplificación de QP. N hat ), por lo que puede usar esta ecuación en cualquier orden.
