¿Por qué una transformación lineal se llama lineal? ¿De dónde viene la linealidad? ¿Qué significa que algo sea lineal?

Answer 1

Esto me pareció realmente confuso durante mucho tiempo. Creo que es porque la palabra “lineal” se usa en dos sentidos diferentes, para cosas que operan en dos tipos de datos diferentes.

1. la “función lineal” y = mx (olvide el + b ). mx es
   

   adición repetida de una constante

   : algo así como + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 +… {x veces} , si m fuera 3 .

   El cálculo muestra que puede aproximar localmente funciones no lineales con funciones lineales. Elija un punto p en una curva a través del espacio (x, y) y pegue una línea en p . Por ejemplo, la derivada de y = √x en el punto p = (9,3) es ⅙. Entonces, estableciendo m = ⅙ y usando solo la suma repetida de p , puede aproximar las raíces cuadradas cerca de √9 en 3 + ⅙ + ⅙ + ⅙ +…. Por ejemplo, √10 ≈ 3 + ⅙ y √8 ≈ 3 − ⅙.

   ((((Esos dos están un poco apagados. La aproximación lineal funciona mejor de cerca o cuando la curvatura es baja. Aproximar √9.01 como 3 + ⅙ / 100 está mal solo unas pocas diez millonésimas. Aproximar √10005 basado en p = ( 10000,100) también es muy preciso.))))
   Las funciones lineales también se usan en regresiones estadísticas. Al menos cerca o entre observaciones conocidas, la extrapolación a + m + m + m + m + … puede ser buena. Por ejemplo, entonces solo necesitamos estimar un parámetro.
2. “lineal” en el sentido de “operadores lineales” o “transformaciones lineales” es un homomorfismo.
   
   En ese sentido, un operador lineal L
   

   conserva la aritmética

   antes y después de transformar un espacio . Decimos esto como L (μx + λy) = μ L (x) + λ L (y) , pero esa es una forma parsimoniosa de decir que dada cualquier secuencia de operaciones aritméticas desde el espacio fuente, una transformación lineal organizará todas las L (a, b, c, d, e, f, g) de tal manera que todas las operaciones aritméticas posibles entre a, b, c, d, e, f, g funcionen igual después de la transformación. Ya sea L (a + b + c) o L (2a − 4d + 6g) , lo que sea.

   ((((En el caso de espacios vectoriales, solo se define la adición de elementos del espacio fuente, pero si los elementos pudieran multiplicarse, diríamos que los homomorfismos también deberían preservar L (a + bc – def + g) .)) )

   El ejemplo canónico es una rotación.

   
   E incluso puede valer la pena compartir que hablamos de tales homomorfismos lineales para establecer una operación de cociente válida.

   Queremos decir que no importa a qué direcciones llamo x, y, z; las leyes de la física siguen siendo las mismas , pero pensar completamente en lo que eso significa requiere fabricar mucha maquinaria mental. Se nos ha dado una invariante (los sistemas de coordenadas rotativas no cambian las matemáticas), y algunos de nosotros queremos aprovechar al máximo ese don.

---

He publicado ~ 30 publicaciones de blog sobre el tema de la linealidad en isomorfismos.

Si esa explicación no tiene sentido, entonces quizás más ejemplos de allí de cosas lineales ayudarían.

Answer 2

Porque el álgebra lineal trata algo que es “lineal”.
Por ejemplo, un espacio lineal de una dimensión parece una línea recta, 2-D es un plano plano, 3-D puede verse como un ultraplano si hay un espacio lineal 4-D y puede entrar en él.
No hay curva aquí, solo hace zoom y gira (e intercambia el eje de coordenadas).
el espacio es recto o plano, los vectores también son rectos.
Todas las variables son olny 1er orden, y no cuadrado u otro.
Esta es una imagen de transformaciones lineales visualizadas
(foto: Flanigan y Kazdan)

---

Soy un estudiante chino, si hay algunos errores en mi declaración, ayúdenme a corregirlos.
Gracias.

Answer 3

Vamos a empezar desde el principio. ¿Qué significa la palabra lineal? Lineal significa a lo largo de una línea recta.

En pocas palabras, una transformación lineal te hace avanzar o retroceder a lo largo de una línea recta .

A diferencia de una transformación no lineal, que te hace moverte a lo largo de una curva.

Por lo tanto, en términos de álgebra lineal, cuando aplique una transformación lineal en un punto en un sistema de coordenadas n-dimensionales , haré que se mueva a lo largo de una línea recta . Eso es lo que significa ser lineal.

Answer 4

La palabra lineal está relacionada con la línea de la palabra, mirando la etimología lineal proviene del latín linearis, relacionado con las líneas.

Hay muchas cosas diferentes en matemáticas llamadas lineales que son todas similares. La más simple de ellas es la ecuación lineal y = ax + b, la ecuación de una línea recta. La característica distintiva es que la potencia más alta es 1, no hay términos cuadráticos, cúbicos o superiores.

Para una transformación lineal podemos expresar la transformación como un par de ecuaciones. Si u, v son las coordenadas de un punto antes de la mano yx, y la coordenada después de la transformación, entonces
[matemáticas] \ begin {align} x & = au + bv + e \\
y = & = cu + dv + f \ end {align} [/ math]
Tenga en cuenta que la potencia más alta es una, de ahí la transformación lineal . Si a = c = 1, b = d = 0, la transformación es x = u + e , y = v + f una traducción. Si a = d = e = f = 0, b = 1, c = -1 tenemos x = v, y = -v una rotación de 90º. Si a = -1, d = 1, c = b = e = f = 0, entonces x = -u, y = v una reflexión. Si a = d = k, b = c = e = f = 0, entonces x = ku, y = kv a escala por factor k. Todas las demás transformaciones lineales también se pueden representar mediante diferentes valores de a, b, c, d, e, f .

Answer 5

El término lineal proviene del álgebra, porque se usa para resolver conjuntos de ecuaciones lineales con múltiples variables a través de operaciones como restar una ecuación lineal de otra o multiplicarla por una constante, cuyos resultados son ecuaciones lineales.

Una ecuación lineal tiene esta forma: variable_1 * constante_1 + variable_2 * constante_2 +… = constante

La parte izquierda de la ecuación también se conoce como una función lineal.

“Primero, la función debe ser de orden uno. Esto significa que el mayor grado o exponente en la función debe ser uno. En otras palabras, si alguna variable es cuadrada, en cubos o elevada a cualquier potencia que no sea una, la función no es lineal. Luego, la función debe ser la ecuación de una línea recta. Esto se puede verificar más fácilmente graficando la función, pero si la función satisface la tercera calidad, entonces también debe satisfacer la segunda. El tercero requiere que la función tome la forma y = mx + b. Una función puede tomar esta forma sin parecer que lo haga. Por ejemplo, y = 4 es lineal; “m” es cero y “b” es cuatro. Si una función toma esta forma, entonces está aumentando, disminuyendo o permaneciendo constante a una tasa fija. Una tasa fija significa que los puntos en el gráfico están espaciados uniformemente, formando una línea recta ”. [1]

La parte del álgebra que trata todas las cosas lineales es el álgebra lineal. Álgebra lineal – Wikipedia

Notas al pie

[1] ¿Qué significa lineal en matemáticas?

Answer 6

Además de la respuesta de David Joyce, el ejemplo prototípico de una función lineal (y la razón última del nombre) es y = mx, cuya gráfica es una línea recta a través del origen. Por más trivial que parezca, cuando lo generaliza a funciones con múltiples entradas (o vectores) y múltiples salidas (o vectores), se vuelve muy poderoso.

También contrasta con la idea de una serie de Taylor, donde aproxima una función como una suma de potencias sucesivamente mayores de x: x ^ 0 (constante), x ^ 1 (lineal), x ^ 2 (cuadrático), x ^ 3 (cúbico) etc.

Answer 7

Una transformación lineal conserva combinaciones lineales de vectores.

Una combinación lineal de vectores es una suma de múltiplos escalares de ellos.

Por ejemplo, [math] 3 \ mathbf a +2 \ mathbf b-5 \ mathbf c [/ math] es una combinación lineal de los vectores [math] \ mathbf a, \ mathbf b, [/ math] y [math] \ mathbf c. [/ math] Si [math] T [/ math] es una transformación lineal, entonces debe satisfacer

[matemática] T (3 \ mathbf a +2 \ mathbf b-5 \ mathbf c) = 3T (\ mathbf a) + 2T (\ mathbf b) -5T (\ mathbf c) [/ math]

Answer 8

La transformación lineal es el nombre dado a una función que satisface lo siguiente:

f (au + bv) = a. f (x) + bf (v),

para todos los vectores u, v en un espacio vectorial V y todos los escalares ayb en el campo K.

Answer 9

‘Lineal’ significa que si agrega una solución a otra solución, el resultado es también una solución. Es importante porque permite que los problemas se ‘descompongan’ en partes más simples que se pueden resolver por separado, luego las soluciones ‘compuestas’ para encontrar el resultado.

Ejemplo (muy simplista):

(100 + 3) + (200 + 4) = 103 + 204 = 307

Considera un sistema de música. La entrada de la grabación es demasiado pequeña para ser escuchada. Se pasa a través de un amplificador para fortalecerlo antes de pasarlo al altavoz. Si el amplificador es lineal, todas las partes separadas de la grabación (voz, guitarra, batería …) saldrán como copias más grandes de sí mismas. Si no es lineal, las diferentes partes se afectarán entre sí. Esto es ‘distorsión’, que suena mal.

Answer 10

Transformar una combinación lineal de vectores es igual a transformar los vectores individuales primero y luego tomar la combinación lineal.