¿Cuál es la relación entre los espacios duales, los duales y el mapa retráctil?

Answer 1

Dado un campo [matemático] K [/ matemático] y un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático] definido sobre [matemático] K [/ matemático], el espacio dual de [matemático] V [/ matemático], denotado [math] V ^ * [/ math], es el espacio vectorial de los funcionales lineales desde el espacio [math] V [/ math] al campo [math] K [/ math]. Los elementos de [math] V ^ * [/ math] son ​​naturalmente ” duales ” a los elementos de [math] V [/ math] ya que toman como entrada un vector [math] u \ en V [/ math] y dar un elemento [matemática] k \ en K [/ matemática]. Además, un mapa lineal [matemático] F: V \ a W [/ matemático] entre espacios vectoriales [matemático] V [/ matemático] y [matemático] W [/ matemático] induce un mapa lineal [matemático] F ^ *: W ^ * \ to V ^ * [/ math] entre sus espacios duales [math] V ^ * [/ math] y [math] W ^ * [/ math], respectivamente. El mapa [math] F ^ * [/ math] se llama el retroceso de [math] W ^ * [/ math] a [math] V ^ * [/ math].

Daré un ejemplo específico en el contexto de la geometría diferencial para complementar la gran respuesta ya dada en el contexto de la teoría de categorías:

Deje que [matemática] M [/ matemática] y [matemática] N [/ matemática] sean dos [matemática] n [/ matemática] múltiples diferenciables dimensionales, y que [matemática] \ phi: M \ a N [/ matemática] sea un difeomorfismo entre ellos Deje que [math] p [/ math] y [math] \ phi (p) [/ math] sean puntos en [math] M [/ math] y [math] N [/ math] y considere los espacios tangentes [math] T_pM [/ math] y [math] T _ {\ phi (p)} N [/ math] en [math] M [/ math] y [math] N [/ math], respectivamente (el espacio tangente en p en un colector es el espacio de vectores que son tangentes a la variedad en el punto [math] p [/ math]). El espacio dual [matemático] T ^ * _ pM [/ matemático] es el espacio de formas diferenciales 1 que toman como vectores de entrada en [matemático] T_pM [/ matemático] y dan elementos en el campo base [matemático] K [/ matemático] (que asumiremos aquí que son los números reales [math] \ mathbb {R} [/ math]) (y de manera similar para [math] T ^ * _ {\ phi (p)} N [/ math]). Entonces, [math] \ phi [/ math] induce un mapa en formas diferenciales [math] \ phi ^ *: T ^ * _ {\ phi (p)} N \ to T ^ * _ pM [/ math] que es el mapa de retroceso en estos espacios duales. De manera similar, [math] \ phi [/ math] también induce un mapa en vectores tangentes [math] \ phi _ *: T_pM \ to T _ {\ phi (p)} N [/ math] que se llama el mapa de avance en la tangente espacios

Answer 2

La relación es bastante hermosa, un ejemplo de dualidad en la teoría de categorías. Dado un campo base [matemática] k [/ matemática], hay una categoría [matemática] \ nombre de operador {Vect} _ {k} [/ matemática] que consiste en slaces vectoriales sobre nuestro campo como sus objetos y transformaciones lineales entre ellos. Una cosa buena acerca de [math] \ operatorname {Vect} _ {k} [/ math] es que tiene un objeto dualizador: el functor [math] \ operatorname {Vect} _ {k} [-, k]: \ operatorname {Vect} _ {k} \ to \ operatorname {Set} [/ math] se levanta a lo largo del functor olvidadizo [math] \ operatorname {Vect} _ {k} ^ {op} \ to \ operatorname {Set} [/ math] , y este ascensor es una equivalencia de categorías.

Suficiente de esta magia negra. ¿De qué demonios estoy hablando? Bueno, esto dice que, dado un espacio vectorial [matemático] V [/ matemático], su objeto dual es precisamente [matemático] \ nombre de operador {Vect} _ {k} [V, k] [/ matemático], el objeto de lineal funcionales, y cualquier mapa [matemático] T: V \ a W [/ matemático] está determinado de forma única por un mapa [matemático] T ^ {\ ast}: W ^ {\ ast} \ a V ^ {\ ast }: S \ mapsto S \ circ T [/ math]. Entonces, el mapeo en el campo base da la vuelta a todo. El mapa que acabo de describir es el mapa de retroceso, y puedes pensar en [math] V ^ {\ ast} [/ math] como el espacio de los covectors en [math] V [/ math].