Como el subconjunto W está cerrado por resta y no está vacío, contendrá 0, ya que si x es un elemento en W, entonces x – x, que es 0, estará en W.
También se cerrará mediante la suma ya que x + y = x – (o – y ).
Además, se cerrará bajo múltiplos integrales positivos ya que nx = x + x + … + x , donde hay n x ‘s en la suma. Por lo tanto, se cerrará bajo todos los múltiplos integrales ya que (- n ) x = – ( nx ).
Eso es suficiente para saber que si el campo F es un campo finito primo, entonces W es un subespacio de V.
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No es suficiente para otros campos. Si F es el campo Q de números racionales, necesitará saber que si x es un elemento de W yn es un número entero positivo, entonces (1 / n ) x también se encuentra en W. Si esa condición se cumple, eso es suficiente para espacios vectoriales sobre Q. Pero todavía no es suficiente para espacios vectoriales sobre otros campos.
Para campos como R o C , realmente necesita que W esté cerrado bajo todos los múltiplos escalares. Es decir, si a es un elemento del campo F yx es un elemento de W, entonces ax también es un elemento de W.