Los detalles de la pregunta me implican que tal vez aprendan de memoria el reconocimiento de expresiones y fórmulas. ¿Estoy en lo correcto si supongo que usted ve la función [matemáticas] f [/ matemáticas] definida por [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas] como completamente diferente de la función [matemáticas] g [/ matemáticas] ] definido por [matemáticas] g (\ alpha ^ 2) = \ alpha ^ 4 [/ matemáticas]?
Si es así, entonces el primer y mejor consejo que daría es intentar reconocer las estructuras, en lugar de los nombres. William Shakespeare mismo escribió exactamente este consejo (aunque en un contexto diferente) en Romeo y Julieta : “¿Qué hay en un nombre? Lo que llamamos una rosa, por cualquier otro nombre, olería tan dulce”.
En cierto sentido, el problema puede ser no ver el bosque por los árboles; los nombres en realidad no importan; lo que importa es la estructura. En mis años de pregrado, tuve un profesor maravilloso para dos asignaturas durante dos años, quien señaló el hecho de que los nombres de las variables no importan. Podríamos llamar a [math] x [/ math] “pez”, por lo que importa, y luego borraría todos los [math] x [/ math] sy los reemplazaría con un [math] \ propto [/ math] -como símbolo con un punto para un ojo, y se refiere a la variable como “pez” a partir de ese momento. Los símbolos, los nombres, son abstracciones que solo juegan un papel en la estructura.
Volvamos a esas dos funciones del primer párrafo. Recuerde que para algunos [matemáticas] y [/ matemáticas], [matemáticas] \ alpha ^ 4 = \ alpha ^ {2 + 2} = \ alpha ^ 2 \ alpha ^ 2 = (\ alpha ^ 2) ^ 2 [/ matemáticas ] Entonces, en la segunda función, si dejamos [matemáticas] \ alpha ^ 2 = y [/ matemáticas], obtenemos que [matemáticas] g (y) = y ^ 2 [/ matemáticas]. Esto tiene nombres diferentes que la primera función, pero tiene la misma estructura; Las dos funciones son idénticas. Si elige un número (cualquier número) y lo coloca en cualquiera de las funciones, la salida de la función es el cuadrado de ese número.
Esta idea de poder reconocer que la forma de una cosa es igual a la forma de otra es crucial para poder hacer matemáticas (en oposición a la aritmética). No sé si las personas nacen con diferencias en las habilidades para dar ese salto, pero con práctica y trabajo duro puedes superarlo.
Otro ejemplo es este: ¿cómo diferencia las siguientes dos expresiones? Primero, [matemática] f_1 (x) = \ sin (x ^ 2) [/ matemática] (el seno del cuadrado de [matemática] x [/ matemática]). Segundo, [matemática] f_2 (x) = \ sin ^ 2 (x) [/ matemática] (el cuadrado del seno de [matemática] x [/ matemática]).
Hay algo fundamentalmente igual en la estructura de cada uno de estos problemas, y va más allá de que ambos implican cuadratura y ambos implican tomar senos, porque las operaciones se realizan en orden opuesto y, por lo tanto, dan resultados diferentes. Piénselo antes de seguir leyendo y vea qué se le ocurre.
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La respuesta sobre la similitud estaba realmente oculta en mi descripción de la diferencia entre ellos. A saber, ambas son funciones de funciones. Entonces, una regla de diferenciación general (la regla de la cadena) se aplica a ambos:
Sea [math] g (x) = x ^ 2 [/ math] y [math] h (x) = \ sin x [/ math]. En el primer caso, tenemos [matemáticas] f_1 (x) = h (g (x)) [/ matemáticas], y en el segundo caso tenemos [matemáticas] f_2 (x) = g (h (x)) [ /matemáticas]. Pero debido a que ambos son problemas de la misma forma, ambos tienen la misma forma de derivada: 1) [matemáticas] f_1 ^ \ prime (x) = g ^ \ prime (x) h ^ \ prime (g (x)) [/ math], y 2) [math] f_2 ^ \ prime (x) = h ^ \ prime (x) g ^ \ prime (h (x)) [/ math].
Entonces, si puede calcular las derivadas de [matemáticas] g [/ matemáticas] y [matemáticas] h [/ matemáticas], puede construir las derivadas de [matemáticas] f_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] f_2 [/ matemáticas] debido a esa similitud de estructura.
Recuerde que los nombres de las cosas no importan (siempre y cuando se usen de manera consistente): lo que importa son sus propiedades y su estructura. Comenzar a identificar la estructura en lugar de obsesionarse con los nombres de las cosas es el primer y más importante paso de la aritmética a las matemáticas.