¿Qué consideran los matemáticos lo suficientemente riguroso? Creo que todo lo que aprendo sobre matemáticas no es lo suficientemente riguroso o no es del todo correcto. Por ejemplo, ¿es lo suficientemente riguroso como para definir funciones trigonométricas con el círculo trigonométrico?

Answer 1

Sí, solo para agregar a lo que dijo David Joyce: en realidad ahora se sabe que es teóricamente imposible tener una sola teoría básica que fundamenta completamente todas las matemáticas. Aunque tenemos teorías que se consideran “suficientemente buenas” para ser razonablemente aceptables.

En ciertas áreas, por ejemplo, en geometría euclidiana, puede crear una teoría completa y consistente, con pocos axiomas, que sea demostrablemente correcta. Esto es para una geometría simple de tipo regla y compás, no como la trigonometría. Esas construcciones que ves con líneas y círculos en los libros de geometría, se les puede dar una base completamente rigurosa.

Primero debes mejorar los axiomas de Euclides (dejó algunos fuera, por ejemplo, no pensó en agregar un axioma de que una línea que entra en un triángulo tiene que salir por uno de sus otros lados). Pero después de hacer eso, está “hecho y desempolvado”: no es necesario hacer más para completar la teoría.

EL C19 EJEMPLOS SALVAJES QUE LLEVAN A LA PREGUNTA MODERNA DE LAS FUNDACIONES DE MATEMÁTICAS

Solía ​​pensarse, siguiendo este ejemplo de geometría euclidiana, que todas las matemáticas podrían recibir este tratamiento. Pero en el C19, los matemáticos encontraron algunas funciones realmente salvajes. Por ejemplo, una función que es continua en todas partes, por lo que puede dibujarla teóricamente con un movimiento continuo de un punto, pero que no es diferenciable en ninguna parte, de modo que ni siquiera hay un único punto en la línea donde tenga una “dirección” o gradiente.

Otro ejemplo: encontraron una construcción para una línea dentada unidimensional que “llena el espacio” para que cada punto en el espacio esté en algún lugar de esa línea.

Muchas otras cosas como esa. Por ejemplo, mientras realizaban un análisis matemático adecuado del flujo de calor, descubrieron que era necesario incorporar muchas ideas abstractas de órdenes superiores de infinito que pensarían que eran innecesarias para un sujeto así basado en la física, y lo que es más, al intentar fundamentando esas ideas en lógica, terminaron con paradojas al principio.

PROGRAMA DE HILBERT PARA PONER TODAS LAS MATEMÁTICAS EN UNA FUNDACIÓN FIRME

Hilbert presentó un programa para volver a poner toda la matemática en una base segura. Y por un tiempo el progreso parecía estar yendo bien.

Pero luego, en la década de 1930, Godel demostró, notablemente, que el programa de Hilbert era imposible.

LO QUE MOSTRÓ GODEL

Mostró que, aunque la geometría euclidiana está bien, tan pronto como agregue la idea de un número, con la suma y la multiplicación (nada muy complicado), ya no puede encontrar una lista finita de axiomas para usar como base para sus métodos de prueba.

Mostró que no importa qué lista de axiomas le des, puedes descubrir cosas nuevas que no están cubiertas por esos axiomas.

Por ejemplo, tome cualquier axiomatización de suma, multiplicación y suma 1. Luego puede encontrar una declaración que no puede deducirse de ninguno de esos axiomas, que también puede ver que debe ser verdadera, para los números como se entienden normalmente.

También demostró que puede agregar la negación de esa declaración a su teoría y su negación también es consistente. El resultado es una teoría de “inconsistencia omega” que dice simultáneamente que alguna afirmación sobre los números tiene una excepción, dice en abstracto que existe una excepción, y también dice, para cada número individual que nombre, que la afirmación es verdadera.

Entonces, demostró que cualquier intento de axiomatizar la suma, la multiplicación y la suma de 1, termina con una teoría que está incompleta (hay algunas cosas que no puede probar o refutar) y también puede agregarle nuevas declaraciones como esta.

Generalmente se piensa que los axiomas para los números, los axiomas de Peano, son consistentes. Hay buenas razones para suponer que sí. Pero no puedes probar con seguridad si lo son. Y ciertamente también, no te permiten deducir todas las verdades posibles sobre los números.

Entonces, con números tan básicos y esenciales para las matemáticas, entonces está bastante claro que el programa de Hilbert no se puede lograr, incluso para las matemáticas que más necesitamos para la física, matemáticas prácticas como los métodos de cálculo utilizados para esos problemas de flujo de calor.

Solo se puede hacer para algunas áreas muy selectivas como “construcciones de regla y compás” en geometría.

INTERPRETACIÓN DE CERCA DE TODAS LAS MATEMÁTICAS EN UNA TEORÍA FUNDACIONAL

La forma habitual de evitar esto es trabajar dentro de los axiomas de la “teoría de conjuntos de Zermelo Frankel” o alguna otra teoría fundamental en la lógica.

En realidad, nadie demuestra resultados complejos largos directamente de estos axiomas, ya que eso sería inmensamente tedioso. Pero la idea es que teóricamente podrías hacer eso si te desafían.

Resulta que casi todas las matemáticas se pueden interpretar, de una forma u otra, en esta teoría de conjuntos.

Esto es sorprendente, ya que solo habla sobre el conjunto vacío (conjunto sin miembros), y el conjunto cuyo único miembro es el conjunto vacío, y varios otros conjuntos complejos que puede construir a partir del conjunto vacío de esta manera. Entonces, ¿dónde están los puntos, dónde están las líneas, dónde están los números pares, dónde están los senos y cosenos?

Bueno, resulta que puedes definir todo eso en términos de construcciones complicadas usando el conjunto vacío, y las relaciones entre esas construcciones y sus propiedades.

Entonces, esto nos da lo más cercano que podemos tener a una base unificada para todas las matemáticas, como Hilbert buscó.

Hay varias de esas teorías establecidas. La mayoría usa ZF, pero hay otros que puede usar. Pero son “interinterpretables” y pueden, la mayoría de ellos, modelarse entre sí. Del mismo modo que puede interpretar números y líneas, etc., como arreglos complicados de estructuras del conjunto vacío, también puede reinterpretar estos diversos tipos de conjuntos entre sí.

Entonces, puede elegir su teoría de conjuntos favorita, generalmente ZF, e interpretar todo lo que contiene. Y para las matemáticas ordinarias como la trigonometría, nadie notará ninguna diferencia, sin importar cuál sea su teoría de conjuntos de base, ya que en realidad nunca prueba los resultados al usarla. Solo confíe en los lógicos que han demostrado los teoremas necesarios para demostrar que sus matemáticas se pueden interpretar de esta manera.

MATEMÁTICAS PRÁCTICAS: REDUZCA LOS CONCEPTOS QUE ES FELIZ COMO MATEMÁTICO PARA TRATAR COMO PRIMITIVOS

En cuanto a las matemáticas prácticas, bueno, creo que es mejor entenderlo lo mejor que pueda. Y eso se logra reduciendo a conceptos previos que usted está feliz de tomar como “primitivos”.

Entonces, por ejemplo, a menos que trabaje en los fundamentos de las matemáticas, es razonable tomar los números en sí mismos, y los axiomas de Peano, la suma y la multiplicación, todo como primitivos que simplemente acepta como verdaderos, evidentes. Y construir a partir de ahí.

PUEDE HACER DEFINITIVAMENTE QUE CON LA GEOMETRÍA EUCLIDEA – NO SE MEJORA INTERPRETANDO EN LA TEORÍA SET

Definitivamente, puede hacer eso para la geometría euclidiana, solo construcciones de regla y compás, ya que es una teoría probadamente completa y consistente para usar, independientemente de cualquiera de estos argumentos fundamentales.

Podrías interpretar la geometría euclidiana en la teoría de conjuntos, pero no es necesaria en absoluto y, de hecho, eso la hace menos segura ya que sabemos que es consistente y completa.

Si bien nadie ha demostrado con certeza que ZF es consistente, y nadie puede dar una prueba totalmente imposible de cuestionar esto debido al resultado de Godel, aunque creemos que lo es.

TODAS ESTAS TEORÍAS DE LA FUNDACIÓN SON SOLO UNA CONVENIENCIA PARA LOS LOGICOS

Y, yo diría también, de manera similar, que filosóficamente, estas teorías de fundamentos son solo una “conveniencia”.

Los números no son en ningún sentido “realmente” las intrincadas estructuras ordinales de Von Neumann construidas por métodos de anidamiento del conjunto vacío. Esa es solo una forma de ayudar a razonar sobre los fundamentos de las matemáticas y reducir la cantidad de suposiciones que necesita hacer, por lo que hay menos axiomas para inspeccionar y evaluar, lo que facilita las cosas para los matemáticos que trabajan en fundamentos lógicos.

Answer 2

Su escepticismo es admirable y una cosa para ser cultivada. Seguid así.

Cada rama de las matemáticas tiene suposiciones y conclusiones. Es ideal si todos los supuestos se pueden establecer explícitamente y las conclusiones se prueban con exquisito detalle. En la práctica, las suposiciones no siempre se expresan explícitamente, y los detalles insoportables de las pruebas no se imprimen.

Tomemos la definición de las funciones trigonométricas en términos del círculo unitario. Al principio parece que todo es completamente riguroso, pero hay algunas suposiciones. Aquí está la definición. Definiremos el seno y el coseno de un ángulo [math] \ theta [/ math] de la siguiente manera. Coloque el ángulo en la posición estándar BAC en el plano xy , es decir, de modo que un rayo AC del ángulo se coloque en el eje xy el otro AB de modo que un ángulo positivo quede por encima del eje x como se muestra:
Ese rayo AB intersecta el círculo unitario en un punto B. La coordenada x de B se define como [matemática] \ cos \ theta [/ matemática] mientras que la coordenada y se define como [matemática] \ sin \ theta. [/matemáticas]

Tienes razón. Eso no es riguroso en absoluto. ¿Qué significa “colocar el ángulo”? Capturar lo que esa frase significa rigurosamente es muy difícil. También hay muchas suposiciones. Toda la idea se basa en la teoría de la geometría de coordenadas. Además, se supone que tenemos una medida [matemática] \ theta [/ matemática] para un ángulo.

Todo eso se basa en una rigurosa teoría de la geometría, o al menos de los números reales. Esos son realmente bastante complicados. Ellos, a su vez, confían en las matemáticas fundamentales y, finalmente, en la lógica y la lógica en algunos principios básicos.

Recuerdo que en un curso universitario temprano tomé tener que demostrar que las intersecciones se distribuyen entre los sindicatos.

[matemática] A \ cap (B \ cup C) = (A \ cap B) \ cup (A \ cap C) [/ math]

Eso se desprende de la afirmación lógica de que

[matemáticas] x \ en A \ mbox {y} (x \ en B \ mbox {o} x \ en C) [/ matemáticas]
si y solo si
[matemáticas] (x \ en A \ mbox {y} x \ en B) \ mbox {o} (x \ en A \ mbox {y} x \ en C) [/ matemáticas]

Pero luego pregunté, ¿por qué es verdadera esa afirmación lógica? El curso que estaba tomando se basaba en la lógica sobre una base, por lo que no era necesario en ese curso ir más allá. Pero en un curso de lógica simbólica, esa afirmación habría sido probada.

Entonces, ¿cuál es la respuesta a su pregunta? ¿Qué consideran los matemáticos lo suficientemente riguroso? La exposición de una teoría debe ser muy rigurosa, pero se supondrán otras teorías “más básicas” en matemáticas en esa exposición.

Answer 3

Una respuesta corta que puede encapsular gran parte del excelente material de lo que precede:

Sí, tienes razón, en cierto nivel no hay suficiente rigor. Para llegar a sus raíces, debes explorar Axiomatics.

En la parte inferior, existe una lógica: lógica proposicional y lógica predicada. A partir de un número limitado de axiomas proposicionales “evidentes”, puede deducir los teoremas que necesite utilizando procedimientos justificados a partir de esos axiomas.

Luego está la teoría de conjuntos, que (generalmente) comienza con los Axiomas Zermelo-Fraenkel (generalmente con el Axioma de Elección, que generalmente se acepta hoy en día). (Esta es un área donde todavía hay espacio para investigación y exploración).

Una vez hecho esto, ahora puede definir los números naturales como conceptos de la teoría de conjuntos, creando una estructura cuyas propiedades se prueben rigurosamente a partir de los axiomas que ha definido.

A partir de los números naturales, se construyen los enteros. Y de ellos, los Números Racionales, y de allí (y este paso es más difícil) los Números Reales.

A partir de ahí, existen muchos trabajos más o menos accesibles en Real Analysis que definen las funciones trigonométricas como sumas de series, sin acercarse a la geometría. Las definiciones geométricas se derivan directamente de allí, y se demuestra que tienen las propiedades apropiadas.

Es en este punto, donde el álgebra y el análisis están unidos a la geometría, que las matemáticas comienzan a tener sentido, y las matemáticas y la física aplicadas finalmente comienzan a tener una lógica intelectualmente aceptable para el nivel de rigor que se requiere para su uso práctico.

Answer 4

Esta es una respuesta no oficial y no rigurosa a su pregunta.

En general, si la gran mayoría de los estudiantes de matemáticas de su clase sabrían que la información es verdadera, a menudo no es necesario que se pruebe específicamente.

Con su ejemplo, generalmente es suficiente decir que los puntos en un círculo de radio de una unidad tienen las coordenadas (cos (x), sin (x)) pero si su maestro quiere que sea más específico, entonces le daría más prueba rigurosa

Cada maestro tiene diferentes requisitos, por lo que es muy importante entender lo que su maestro espera. Escuche, haga preguntas y, cuando se ofrezca una sesión opcional de “revisión”, vaya, porque su maestro podría brindarle información sobre lo que se incluirá en un examen.

(Eso sucedió por última vez en mi clase de Calc One … no solo la maestra nos dijo cuando estaba cubierto que necesitábamos dar las tres condiciones cuando vimos un tipo específico de pregunta … durante la sesión de revisión, ella nos dijo que una pregunta como esto podría ser a medio plazo y nos dijo que tendríamos que dar las tres condiciones, incluso si una de las condiciones demostraba que la función no era continua; sin embargo, varios estudiantes estuvieron presentes en la sesión de revisión solo probaron que la función era discontinua con una condición y no enumeró las otras dos condiciones).

Answer 5

Una gran suposición hecha con el círculo trigonométrico es que el rayo se cruza con el círculo exactamente en un punto. “Obviamente” lo hace, pero eso es un llamamiento a la intuición, no a la lógica. Para demostrar que el rayo se cruza con el círculo exactamente en un punto, se requiere, entre otras cosas, el teorema del valor intermedio del cálculo. Pero pedagógicamente hablando, el cálculo viene después de la trigonometría por buenas razones.

Muy a menudo, la prueba de que una construcción particular “funciona” requiere una matemática más avanzada que la que el alumno estará listo para cuando se encuentre por primera vez con la construcción. Así como el jardín de infantes no comienza con una prueba rigurosa de que 1 + 1 = 2.

Y eso va no solo para estudiantes individuales, sino para la humanidad en su conjunto. Las ramas de las matemáticas que llamamos “fundacionales” son relativamente nuevas (excepto la lógica misma).

Answer 6

Creo que las respuestas que los matemáticos suelen dar a este tipo de preguntas son un poco falsas, en el sentido de que en realidad no reflejan nuestra práctica. Aquí hay un ejemplo rápido, de un artículo publicado en la teoría del modelo interno [1]; Es la primera oración de la prueba de un teorema establecido para cada número natural k:

Suponemos que k = 0 por simplicidad de notación, y porque solo en ese caso hemos dado definiciones completas de todos modos.

Por supuesto, esto está en un documento expositivo (esencialmente); si desea más detalles, puede buscarlos en otra parte, pero de hecho la referencia estándar para esos detalles es incorrecta al menos en una forma (en última instancia, no tan significativa), y omite muchos de los detalles.

Es razonablemente común en las matemáticas profesionales decir “la prueba de este lema sigue muy de cerca la prueba de tal y tal, y se omite”. También es razonablemente común afirmar que algo es obvio y luego omitir la prueba.

Entonces, aunque básicamente estoy de acuerdo con el relato de David Joyce y las respuestas de otras personas, creo que omiten un detalle clave: ese detalle clave es que la mayoría de las matemáticas ocurren al menos en parte como un diálogo dentro de una comunidad, ya sea que esa comunidad sea un aula o la comunidad profesional dentro de una disciplina. Así que creo que tenemos que ver la omisión de detalles y el desenfoque de los supuestos como parte de un proceso interpersonal entre los matemáticos. Cuando omito algunos detalles en una prueba, lo que realmente está sucediendo, creo, es una afirmación de que esos detalles no son necesarios, que lo que ya he dicho, combinado con un pequeño esfuerzo por parte del oyente, debería baste para convencerse de que lo que he dicho es cierto, o de que hay otro lugar donde puede buscar esos detalles si lo desea.

La razón por la que esto funciona es que, en la mayoría de las comunidades matemáticas, tenemos audiencias razonablemente escépticas y atentas a los detalles que nos llaman cuando los detalles realmente no funcionan según lo planeado, y consideramos que es un poco vergonzoso afirmar que algo es obvio y luego haga que no se pueda presentar una prueba cuando se le solicite.

En otras palabras: sí, es perfectamente posible definir rigurosamente las funciones trigonométricas utilizando el círculo unitario, pero no, la definición que probablemente haya visto no es completamente rigurosa, porque quien lo presente imagina que ha dicho lo suficiente como para convencerlo. que tal definición funciona, y que decir más sería un uso improductivo del tiempo de todos. Si no ha escuchado lo suficiente para convencerlo de que funciona, puede solicitar más detalles o buscarlos en un libro de texto de análisis.

Creo que es realmente este proceso lo que queremos decir con “rigor” en la comunidad matemática, un proceso interpersonal mediante el cual cada uno de nosotros toma un ojo escéptico hacia cada nuevo teorema e insiste en una prueba para nuestra propia satisfacción. En principio, el límite de este proceso podría ser una prueba completamente formalizada con todo lo que se indica explícitamente, pero en la práctica el proceso termina cuando todos en la sala están convencidos de que tal prueba es posible.

[1] Steel, “An Outline of Inner Model Theory”, en Handbook of Set Theory .

Answer 7

No, no es lo suficientemente riguroso para definir funciones trigonométricas a partir del círculo unitario.

En cambio, sin (x) generalmente se define en el cálculo como la solución única a la ecuación diferencial y ” + y = 0 con las condiciones iniciales y (0) = 0 e y ‘(0) = 1. Por supuesto, aún debe demostrar que tal solución existe y es única.

Más adelante, en Análisis complejo, eliminaría eso y definiría sin (z) mediante la función exponencial compleja: [matemática] e ^ {iz} = \ cos (z) + i \ sin (z) [/ matemática]

Answer 8

El rigor completo no se le está explicando, porque usted (o quizás más apropiadamente, sus compañeros) no está listo para exponerse a toda la complejidad requerida para ser completamente riguroso.

Sin embargo, el hecho de que ese rigor aún no se haya expuesto a usted no significa que no esté allí.

El concepto de si una Mentira a los niños fue formulada por escritores de fantasía humorísticos para la serie Discworld, pero en realidad es una idea profunda: “Una mentira a los niños es una afirmación que es falsa, pero que sin embargo lleva a la mente del niño hacia un explicación más precisa, una que el niño solo podrá apreciar si se ha preparado con la mentira “.

Tus maestros te están mintiendo (u omiten parte de la verdad), no para engañarte, sino todo lo contrario: para guiarte.

Answer 9

Lo suficientemente riguroso: cualquier persona normal estaría molesta por lo cuidadoso que es el matemático.