¿Qué se entiende por [matemáticas] L ^ 2 (\ Omega) [/ matemáticas]?

Answer 1

Tal vez un pequeño comentario a mis compañeros de respuesta. No es razonable suponer que alguien que esté familiarizado con Lebesgue integral publicará esta pregunta.

Para los aspirantes a matemáticos, L2 (Ω) es una generalización del espacio vectorial dimensional 2 o 3 (o cualquier número finito) a uno infinito. Al cambiar de finito a infinito, se deben abordar algunos problemas que son triviales en el caso finito, por lo tanto, el espacio medible y la integración de Lebesgue. La norma es solo el tamaño de un vector. En realidad, para una selección adecuada de Ω, es exactamente el espacio euclidiano de dimensión finita.

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Perdí la palabra que no estaba en la primera línea de mi respuesta original. Para ser claros, supongo que si alguien está familiarizado con Lebesgue, la integración ya sabrá, o tendrá acceso inmediato, a la definición y los conceptos básicos del espacio de Hilbert.

Answer 2

Es un espacio particular de funciones que son integrables al cuadrado sobre el espacio [math] \ Omega [/ math]. En particular, el tipo de integración es la integral de Lebesgue y, por lo tanto, la L.

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Dada una función [matemática] f [/ matemática] es Lebesgue integrable con respecto a una medida [matemática] \ mu [/ matemática] sobre el espacio [matemática] \ Omega [/ matemática] si [matemática] f [/ matemática] es Lebesgue medible y

[matemáticas] \ int _ {\ Omega} | f | d \ mu <+ \ infty [/ math]

Si este es el caso, entonces decimos que [matemáticas] f \ en L (\ Omega, \ mu) [/ matemáticas], o si la medida es solo la medida de Lebesgue (que da la integral a la que estamos acostumbrados) [matemáticas] f \ en L (\ Omega) [/ matemáticas]

En términos más generales, decimos que [matemáticas] f \ en L ^ p (\ Omega, \ mu) [/ matemáticas] si

[matemáticas] \ int _ {\ Omega} | f | ^ pd \ mu <+ \ infty [/ matemáticas]

Cuando p = 2 este es el espacio de funciones integrables cuadradas. Estas son una clase de funciones muy agradable ya que tiene un producto interno asociado

[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ int _ {\ Omega} f \ bar {g} d \ mu [/ math]

[matemáticas] L ^ 2 (\ Omega, \ mu) [/ matemáticas] es el tipo de espacio en el que podemos hacer el análisis de Fourier.

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Hay una pequeña complicación cuando definimos espacios [matemáticos] L ^ p [/ matemáticos]. Queremos que sean espacios vectoriales normalizados. No queremos tener múltiples objetos ‘cero’ en nuestro espacio.

Primero definamos el espacio semi-norma [math] \ mathcal {L} ^ {p} (\ Omega, \ mu) [/ math] como el espacio de todas las funciones integrables en p

[matemáticas] \ matemáticas {L} ^ {p} (\ Omega, \ mu) = \ {f: \ int _ {\ Omega} | f | ^ pd \ mu <+ \ infty \} [/ matemáticas]

con el seminorm asociado

[matemáticas] \ | f \ | _p = (\ int _ {\ Omega} | f | ^ pd \ mu) ^ {\ frac {1} {p}} [/ math]

Ahora para definir [matemáticas] L ^ p (\ Omega, \ mu) [/ matemáticas] tomamos la clase de equivalencia de objetos bajo la relación de equivalencia

[matemáticas] f \ sim g \ Leftrightarrow \ int _ {\ Omega} | fg | d \ mu = 0 [/ matemáticas]

Es decir, dos funciones son equivalentes si su diferencia tiene un valor integral total de cero. Cambiar el valor de la función en un conjunto de medida cero no cambia la clase en la que se encuentra.

Ahora nuestro seminario anterior es una norma con esta relación de equivalencia y podemos definir [matemáticas] L ^ p (\ Omega, \ mu) [/ matemáticas] como

[matemáticas] L ^ p (\ Omega, \ mu) = \ {f: \ | f \ | _p <+ \ infty \} [/ matemáticas]

Answer 3

Deje que [math] \ Omega [/ math] sea un espacio de medida con measure [math] \ mu [/ math]. Entonces [math] L ^ 2 (\ Omega) [/ math] denota el espacio de Hilbert de todas las funciones medibles [math] f: \ Omega \ to \ mathbb {R} [/ math] (o [math] \ mathbb {C } [/ math]) tal que [math] \ int_ \ Omega | f | ^ 2 d \ mu <\ infty [/ math]. Más información aquí: espacio Lp