¿Por qué el “cálculo moderno” es más riguroso que el cálculo de Newton, Euler y otros grandes matemáticos clásicos?

Answer 1

Hubo un deslizamiento de rigor en las matemáticas en el siglo XVII que no se restableció hasta principios del siglo XX. Eso no debe lamentarse ya que esa reducción aceleró el desarrollo de las matemáticas.

Newton, Leibniz y otros no tenían fundamentos rigurosos, y eso significaba que se perdieron algunas cosas, pero pudieron avanzar más rápido. Por ejemplo, Newton podría desarrollar su versión de cálculo, pero supuso que si una función cambiaba con respecto al tiempo, entonces automáticamente tenía una derivada. Si no hubiera hecho esa suposición, podría haber descubierto fractales.

Euler confió mucho en las matemáticas simbólicas que funcionan muy bien como intuición. Debido a esa confianza, descubrió muchas cosas que otros de su tiempo no hicieron. Ramanujan en el siglo 20 hizo algo similar.

Hay mucho que decir sobre estos métodos poco rigurosos. Sin embargo, a veces conducen a conclusiones falsas y deben seguirse con métodos más rigurosos.

Sí, las cosas han cambiado desde entonces. Las bases para los números reales y, más tarde, los números naturales, se desarrollaron en el siglo XIX. La lógica formal se desarrolló en el siglo XIX y principios del XX. Ahora podemos expresar las cosas rigurosamente por completo en términos de representaciones simbólicas. Las pruebas incluso pueden ser verificadas por computadoras.

Answer 2

Newton, Euler, etc., estaban creando una matemática que era suficiente para resolver problemas de física. En física, normalmente puede suponer que sus objetos matemáticos se comportan bien.

En matemáticas rigurosas no asumes que tus objetos matemáticos se comportan bien. Entonces debes ser mucho más cuidadoso.

Los físicos todavía juegan rápido y suelto con las matemáticas en la línea de Newton y Euler, y son criticados por los matemáticos.

En realidad, tenemos desarrollos en la física contemporánea que reflejan el desarrollo de las matemáticas por parte de Newton, Euler, etc. Los físicos han desarrollado una herramienta matemática llamada “integral de ruta” que se utiliza para resolver diversos problemas en física de alta energía y materia condensada. La ruta integral es tan poco rigurosa como lo fue el cálculo de Newton, Euler, etc. Los físicos todavía están esperando que los matemáticos se pongan al día y hagan rigurosas las integrales del camino.

Answer 3

El cálculo no es clásico, ya que en la música no se puede clasificar como clásico.
Newton inventó el cálculo moderno para explicar las tres leyes de lo físico. Tenía que proporcionar prueba de sus deducciones utilizando un modelo universalmente enseñable.
La física no se basa en el cálculo, sin embargo, el cálculo de grandes cuerpos de regreso a la correspondencia de trabajo, hasta niveles minúsculos, necesita una medición precisa y comprobada (en términos humanos).
Dentro de cien años, sé que solo se incorporarán pequeñas adiciones a los cálculos.
¿Pregúntame porqué?

Answer 4

Creo que el cálculo riguroso o el análisis real, como se lo conoce entre los matemáticos, es un problema resuelto. No quiero decir que no quede nada por descubrir, pero sus fundamentos son tan sólidos como uno puede esperar. Es decir, si uno asume la validez de la teoría de conjuntos, entonces todo en el análisis real es kosher. Para hacer las cosas un poco definitivas, los lógicos han demostrado que no se puede probar o refutar la validez de la teoría de conjuntos.

Answer 5

A mediados del siglo XIX, los conceptos de límites y convergencia se desarrollaron para cumplir con las objeciones matemáticas y filosóficas en infinitesimales, así es como Newton y Leibniz hicieron el cálculo.

Este fue un gran avance en rigor. Los grandes nombres son Cauchy y Dedikind.