¿Cuándo comienza uno a aprender ‘matemáticas reales’? ¿Qué es la “matemática real”?

Answer 1

Lo que la mayoría de la gente piensa como matemáticas es en gran parte una geometría plana básica y una aritmética, posiblemente incluso un poco de álgebra introductoria, y hacer cálculos. Esto es para las matemáticas lo que es transcribir notas, tocar escalas y arpegios, aprender los componentes de un pentagrama y cambiar las teclas de la música.

Las “grandes piezas” de las matemáticas son los teoremas y las teorías. Son los resultados y las razones por las cuales los resultados son ciertos.

Podría crear una analogía (que, como con todas las analogías, debe descomponerse en algún momento) entre los campos de las matemáticas y los diferentes instrumentos. Una vez que adquieras cierta competencia básica con el lenguaje de un campo, puedes comenzar a usarlo para crear matemáticas. Del mismo modo, una vez que adquiere cierta competencia básica con el funcionamiento de un instrumento, puede comenzar a usarlo para crear música. Lo más probable es que nada de lo que juegues al principio sea completamente nuevo, pero a medida que aprendas puedes descubrir gradualmente más y más dónde puedes agregar algo de sustancia.

La mayoría de las piezas musicales más grandes e interesantes son composiciones para muchos instrumentos, que las unen de una manera novedosa, que a menudo requiere la colaboración de muchos músicos. Así es con las matemáticas. El teorema de Poincaré (durante aproximadamente un siglo la conjetura de Poincaré) solo se demostró relativamente recientemente, pero reunió técnicas en topología y geometría diferencial de formas novedosas, y se basó en el trabajo de docenas de matemáticos. El libro Premio de Poincaré cuenta la historia de cómo se concibió el problema y cómo tantas personas diferentes lo abordaron antes de que Grigory Perelman finalmente reuniera las piezas en una serie de tres artículos publicados con poca fanfarria. En una línea similar, el último teorema de Fermat cubre la historia del teorema del mismo nombre y del matemático Andrew Wiles, quien terminó su demostración en 1994.

La matemática utilizada por los ingenieros es a menudo poco más que una herramienta (para ellos, su arte es resolver problemas de diseño e implementación, y las matemáticas son parte de su kit, o un componente de otras partes de su kit). Es similar, aunque más “puro” en lo que respecta a la física, y existe un desarrollo mutuo de las matemáticas y la física cuando trabajan juntas; La estructura en algunas partes de las matemáticas implica resultados físicos, y las observaciones físicas conducen al desarrollo de nuevos resultados matemáticos para comprenderlos. Cuando se trata de lo que hacen los matemáticos, se trata de comprender la estructura, ya sea usando las matemáticas de una manera aplicada (como lo hago yo) o de una manera pura, las matemáticas como (o casi como) arte.

A veces sucede que no puedo hacer algunos cálculos aritméticos (generalmente no triviales) en mi cabeza en compañía, y la gente exclama y se burla de que soy matemático; Debería poder hacer eso. Mi respuesta suele ser que soy matemático, no aritmético. La diferencia es que sé por qué [matemáticas] 1 + 1 = 2 [/ matemáticas], y eso es más importante en cierto sentido que el resultado real.

Answer 2

Empiezas a aprenderlo tan pronto como dejas de considerarlo como un conjunto de procedimientos y en cambio lo consideras como un enfoque filosófico con reglas fundamentales en lugar de pasos de proceso.

Con eso en mente, puedes comenzar a aprender matemáticas reales incluso desde las introducciones al álgebra. Hay muchos conceptos listos y esperando que la gente aprenda matemáticas reales allí. Las propiedades algebraicas de los operadores y operandos son el gran concepto allí, pero después de que lo explican durante quizás una semana, saltan al procedimiento en lugar de explicar cómo los procedimientos pueden seguir a partir de las propiedades.

A partir de las propiedades, podríamos comenzar a hacer matemática real que termine derivando un montón de procedimientos posibles para hacer sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de varios dígitos en cualquier base de radix arbitraria, incluida una base de radix variable (como en polinomios). Pero no, la teoría se omite a favor del procedimiento. Pregúntele a un niño en álgebra avanzada por qué funciona la división vertical larga estándar, y a menos que hayan estado haciendo matemáticas reales por su cuenta, ni siquiera pueden comenzar a explicar por qué, o idear otro enfoque algorítmico.

(Cuando el por qué finalmente hizo clic en mi cabeza, mis capacidades de cálculo mental se dispararon porque mi cerebro favorece un enfoque horizontal basado en la división / distribución en lugar del enfoque vertical habitual).

Y las matemáticas reales ni siquiera tienen que involucrar números. Tomé una clase de matemática discreta que abarca los conceptos básicos de la teoría de conjuntos, la teoría de grafos, la lógica formal, el álgebra booleana, el cálculo de predicados y la prueba por inducción. Puede pegar números allí (¡diviértase derivando aritmética binaria del álgebra booleana!) Pero no necesariamente tiene que incluir números.

Answer 3

Desafortunadamente, al menos en los Estados Unidos, la mayoría de las personas nunca aprenden matemáticas reales. Es una pena, porque podrían. En la mayoría de los casos, el primer enfoque es en la universidad, y generalmente no en el primer año (Cálculo I y II)

Pero la belleza y la magia de las matemáticas se pueden enseñar a una edad mucho más temprana.

Ver Lamento de un matemático por Paul Lockhart.

O el círculo matemático

Answer 4

Creo que cuando las personas en estos foros usan la frase “matemática real”, están tratando de distinguir entre los conjuntos de reglas obsoletas, algorítmicas, sin contexto, de madera que a veces pasan por las matemáticas en las malas clases de matemáticas, y la búsqueda en vivo de verdad y comprensión que proviene del análisis, el experimento y la investigación.

El nivel de las matemáticas no es la esencia de si es o no “real”. Es el tipo de investigación que importa. Por ejemplo,

1. ¿Qué fracciones se pueden escribir como decimales finales?
2. ¿Qué poliedros se pueden construir usando pentágonos regulares?
3. ¿Cuántas veces necesitas barajar perfectamente una baraja de cartas hasta que vuelva a su estado original?

Todos estos son ejemplos de preguntas que pueden servir como lecciones o experiencias de “matemáticas reales”.

• Cada uno es elemental.
• Cada uno debe ser cuidadosamente definido. Una vez que esté seguro de qué pregunta se está haciendo o cómo desea definirla, explorar las posibles soluciones conducirá a otras matemáticas y otras preguntas.
• Los experimentos sugerirán conjeturas. El análisis conducirá a pruebas y comprensión de estas conjeturas hasta que se conviertan en teoremas.
• Finalmente, los algoritmos y métodos se deducirán de estas actividades y se resumirán para que otros los usen.

Desafortunadamente, las clases de matemáticas en la escuela a menudo saltan a la última bala, volcando el aprendizaje de las matemáticas. Los estudiantes aprenden la conclusión sin saber de dónde proviene y sin involucrarse en su descubrimiento. Este aprendizaje de memoria hace que los estudiantes se aburran. Peor aún, es que estudiar matemáticas de memoria puede resultar en la falsa confianza de un estudiante, que finalmente se descubre solo cuando finalmente intenta “matemáticas reales” más tarde en la universidad. En este punto, el estudiante se resiste a las “matemáticas reales”, convencido de que la forma en que aprendió las matemáticas es real.

Answer 5

“Real Math” es desordenado, exploratorio y extremadamente maravilloso. Los enfoques fijos que ves en las escuelas primarias de EE. UU. K-12 no son matemáticas reales.

Soy autodidacta, y lo fui casi toda mi vida. En algún lugar del verano, entre 4to y 5to grados, me enteré de las matemáticas reales y pasé de reprobar las cosas aburridas en la escuela a acercarme a las matemáticas de nivel universitario, dejando de lado todo lo que me estaban “enseñando”.

Las verdaderas matemáticas implican ensuciarse y jugar con los conceptos matemáticos reales, y la conceptualización lo es todo . Otro cartel aquí mencionaba alejarse de los “pasos del proceso” y verlo como un “enfoque filosófico”. Y estoy de acuerdo con eso. Las escuelas de EE. UU. (Y no puedo hablar de otras escuelas en el mundo) tienen que ver con el “proceso”, pero ¿cuánto tiempo dedican a la conceptualización ? Muy poco.

Cuando tenía 13 años, el verano entre 7º y 8º grado, entendía los conceptos de cálculo. Debido a eso, pude derivar un enfoque numérico simple y escribir código para un simulador de gravedad en las nuevas microcomputadoras en ese momento (Apple II). No habría podido hacer eso desde el curso de cálculo de la escuela secundaria, que no me permitieron tomar hasta que estaba en el último año, ¡y para ese momento estaba tan lejos que era una broma!

¡Es curioso cómo logré hacer mis mayores avances en la comprensión durante los veranos entre los años de la escuela primaria, en los momentos en que los procedimientos aburridos y aburridos en la escuela no me distraían!

Diré que si crees que las matemáticas son “números”, nunca has hecho matemáticas reales. La matemática real es profundamente abstracta, y los “números” en sí mismos son solo una pequeña parte de ella.

Yo diría que uno debe poder pensar matemáticamente . Debería poder mirar un sistema arbitrario, por ejemplo, y poder ver cómo ese sistema podría ser descrito por algún sistema matemático, ya sean ecuaciones diferenciales, análisis caóticos, tensores o lo que sea. También debe ser capaz de concebir sistemas matemáticos que pueden no tener análogos en el “mundo real”.

Y hoy, he estado trabajando de vez en cuando en algo que, con suerte, puede describir un tipo de simetría profunda en el universo, que todavía estoy luchando por nombrarlo y describirlo formalmente. He estado rebotando alrededor de “Conjuntos trascendentales” e “Hipercélulas”. La complejidad en nuestro universo surge debido a la capacidad innata de la materia / energía / fuerzas para crear estructura celular en todas las escalas. Ha estado sentado bajo nuestras narices todo el tiempo y he visto alusiones aquí y allá, pero nunca ha sido un tratamiento formal de eso. Simplemente crear la simbología para representar esto es una locura, porque los símbolos en sí mismos tal como están escritos en papel parecen ser demasiado limitantes. Quizás un mejor enfoque sería crear un lenguaje de computadora para describirlo …

Oh, si me pagaran por pensar en lugar de producir. Oh bien…

Answer 6

En su forma más pura, las matemáticas son la aplicación de la lógica. Hacer deducciones de ciertas reglas (a veces inventadas por uno mismo) viendo qué consecuencias tienen las reglas. Esto significa que los cálculos a veces no se consideran matemáticas “reales”.
Las pruebas a menudo se citan como las matemáticas “reales”, pero yo diría que las matemáticas realmente “reales” son todas las partes en las que no solo se conectan números en las fórmulas. Son todos los problemas de palabras que muchas personas encuentran muy difíciles. En el cálculo es cuando se le pregunta: “Si una granja tiene 20 m de cerca y quiere hacer un recinto rectangular, al lado de su granero (usando el granero como uno de los cuatro lados, y el granero es más largo que 20 m) , ¿cuál es el área más grande que puede encerrar? ”
Las personas que han hecho esto lo suficiente de estos problemas saben cómo tratarlo, y la parte matemática es donde se formula esto en términos de definiciones conocidas y se utilizan las reglas derivadas (o derivan las suyas) para resolver el problema.

Answer 7

La mayoría de las personas que no han estudiado matemáticas a nivel de pregrado piensan que las matemáticas están haciendo cálculos. Para alguien que lo ha estudiado, las matemáticas están demostrando teoremas.

Si está escribiendo pruebas (que no ha visto antes), entonces está haciendo “matemáticas reales”, no importa cuál sea el tema real.

Answer 8

Cuando te encuentras probando teoremas en lugar de resolver problemas, entonces estás haciendo “matemáticas reales”.