¿Qué es la relación transitiva en matemáticas?

Answer 1

La definición debe ser satisfecha por todos los triples [matemática] (a, b, c) [/ matemática], independientemente de si algunos o todos los tres son iguales. Permítanme denotar “[matemáticas] x [/ matemáticas] está relacionado con [matemáticas] y [/ matemáticas]” como [matemáticas] x \ sim y [/ matemáticas].

Aquí hay dos relaciones en [matemáticas] X = \ {1, 2, 3 \} [/ matemáticas] que no son transitivas:

1. [math] \ forall x \ in X, \ x \ sim x [/ math], [math] 1 \ sim 2 [/ math], [math] 2 \ sim 3 [/ math]. Obvio.
2. [matemáticas] 1 \ sim 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 \ sim 1 [/ matemáticas]. Porque [matemática] 1 \ not \ sim 1 [/ matemática].

Aquí hay algunos que son transitivos:

1. [math] \ forall x \ en X, \ x \ sim x [/ math].
2. [matemáticas] 1 \ sim 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 \ sim 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 \ sim 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 \ sim 2 [/ matemáticas].
3. [matemáticas] 1 \ sim 2 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 \ sim 3 [/ matemáticas], [matemáticas] 1 \ sim 3 [/ matemáticas].

Es decir, la relación es transitiva a menos que pueda encontrar al menos un triple [matemática] (a, b, c) [/ matemática] tal que [matemática] a \ sim b [/ matemática], [matemática] b \ sim c [/ math], pero [math] a \ not \ sim c [/ math]. Esto es facil de entender. La condición en la definición es de la forma “para todos … “. Entonces, la negación de eso es una declaración de la forma “para algunos … NO “.

Answer 2

Antes de dar la definición, considere un ejemplo. Suponga que una muestra de metal X es más pesada que una muestra de metal Y, y que Y es más pesado que una muestra Z. Entonces debe ser cierto que X es más pesado que Z.

Formalmente, una relación binaria R (x, y) es transitiva si cada vez que R (x, y) y R (y, z) se deduce que R (x, z).

Los pedidos tienden a ser transitivos. Si x> y e y> z, entonces x> z. La igualdad también es transitiva: si a = byb = c, entonces a = c.

El amor no es transitivo. Si Alice ama a Bob y Bob ama a Candace, entonces probablemente Alice no ama a Candace.