¿Qué temas se incluyen en un curso sobre ‘cálculo avanzado’?

Answer 1

Los temas a continuación se enumeran en orden de cosas que puede / es probable que aprenda a medida que avanza un curso de Cálculo avanzado.

[Nota: la lista no es definitiva; puede aprender todas o algunas de las cosas mencionadas, o puede aprender otros temas que no figuran aquí]

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Primero deberá conocer algunos conceptos FUNDAMENTALES :
-Teoría de conjuntos ( rama que estudia conjuntos )
– El teorema de Schroder-Bernstein (que incorpora funciones inyectivas y biyectivas )
– relación de equivalencia ( un tipo de relación que se mantiene entre dos elementos ),
-Doble serie (una serie matemática compuesta de términos, cada uno de los cuales es una serie)

ÁLGEBRA LINEAL BÁSICA:
-espacios vectoriales ( una colección de vectores )
-subspace ( un espacio vectorial que es un subconjunto de otro espacio ) abarca / bases
– transformaciones lineales
-determinantes, matrices
– “valores propios” y “vectores propios” ( implica múltiplos escalares )
– espacios lineales (normas p, bases ortonormales, teorema de Schur)
– descomposición polar (se trata de la factorización de un tipo)

SECUENCIAS
-Secuencias de vectores + sus límites
– compacidad secuencial
-conjuntos cerrados, conjuntos abiertos
– Secuencias “Cauchy” ” (una secuencia en la que los elementos se vuelven arbitrariamente cercanos entre sí a medida que avanza la secuencia)

FUNCIONES CONTINUAS
-definición de continuidad
-límite de una secuencia
– “EVT”: teorema de valores extremos (si una función con valor real f es continua en el intervalo cerrado y acotado [a, b], entonces f debe alcanzar un máximo y un mínimo, cada uno al menos una vez).
conjuntos conectados (un conjunto que no se puede dividir en dos subconjuntos no vacíos que están abiertos en la topología relativa inducida en el conjunto).
– secuencias de polinomios
-la norma del operador ( para medir el “tamaño” de ciertos operadores lineales)
– “Teorema de Ascoli Arzela” (usado para decidir si cada secuencia de una familia dada de funciones continuas con valores reales se define en un sistema cerrado y acotado intervalo tiene una convergencia uniforme subsecuencia )

DERIVADOS
-definición de derivada, regla de cadena, matrices que involucran derivadas
– MVI – Desigualdad del valor medio
– derivados de orden superior ( derivados de 2da, 3ra, 4ta o superiores)
– “El producto cartesiano”
-derivadas parciales (una derivada de una función de dos o más variables con respecto a una variable, las otras se tratan como constantes)
– IFT – Teorema de función implícita (permite que las relaciones se conviertan en funciones de varias variables reales )
-La fórmula de Taylor, la segunda prueba derivada ( aprender sobre la concavidad ),
– Multiplicadores de Lagrange (una estrategia para encontrar los máximos y mínimos locales de una función sujeta a restricciones de igualdad).

FUNCIONES MEDIBLES
-conjuntos compactos,
– Conjuntos boreales (cualquier conjunto en un espacio topológico que se puede formar a partir de conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, a partir de conjuntos cerrados) mediante las operaciones de unión contable, intersección contable y complemento relativo).
-Lebesgue Stieltjes Measure
-Medidas exteriores

LA LIGA INTEGRAL + SU INTEGRAL PARA LAS FUNCIONES DE VARIABLES p
-El teorema de la convergencia monótona,
-Lema de Fatou, aproximación con funciones simples (una declaración sobre una desigualdad)
– DCT – teorema de convergencia dominado
-Teorema deubini (establece una conexión entre una integral múltiple y una repetida).
-Teorema de punto fijo de borde

GRADOS DE NAVEGACIÓN:
-definición de la misma
-Teorema de Borsuk
-Fórmula de producto
– Teorema de separación de Jordania,

INTEGRACIÓN DE FORMAS DIFERENCIALES:
-Manifolds (un tipo de espacio que se asemeja al espacio euclidiano cerca de cada punto).
-Teorema de Egoroff
-Teorema de convergencia vitali,
-Binet Cauchy Formula, (una identidad para el determinante del producto de dos matrices rectangulares de formas transpuestas)
-Teorema de Stoke
-Teorema de Green
-Teorema de divergencia
-Esferas / coordenadas esféricas

ECUACIONES DE LAPLACE Y POISSON
-Problema de Poisson
– funciones armónicas + sus propiedades
-La ecuación de LaPlace para conjuntos generales
-funciones subarmónicas + sus propiedades
-Teorema de la curva de Jordania

INTEGRALES DE LÍNEA:
-definición + propiedades
-Producto cruzado, producto en caja, producto triple
-Cauchy Integral
-Teorema de Calchy Goursat

MEDIDAS DE HAUSDORFF + FORMULA DE AREA
-definición, propiedades
-Simetría de Steiner
-Desigualdad isodiamétrica,

Otros temas que pueden discutirse:
Residuos
Fórmula Coarea
Teorema no lineal de Fubini

Answer 2

¡Límites, límites y más límites! Hay tres caminos que creo que podrían ser lo que uno podría llamar “cálculo avanzado”:

1. Análisis real: este camino implica una prueba rigurosa de las declaraciones hechas en el cálculo. Vea si puede recordar la definición de una derivada como el siguiente límite: [matemáticas] y ‘(x) = \ lim_ {h \ a 0} \ frac {y (x + h) -y (x)} {h} . [/ math] En un análisis real, declaraciones como esta se prueban rigurosamente en un entorno general, no solo para casos específicos. La convergencia de secuencias y series está probada, junto con integrales como el límite de las sumas de Riemann a medida que el ancho de cada rectángulo va a 0. Los temas más avanzados tratan sobre la integración en funciones que no son necesariamente continuas (es decir, integración de Lebesgue y teoría de la medida)
2. Análisis de Fourier: este es un campo muy rico en matemáticas aplicadas. El análisis de Fourier se ocupa de la representación de funciones en dominios acotados utilizando combinaciones lineales de función de base periódica (por ejemplo, senos y cosenos). Esta es un gran área de estudio con muchas aplicaciones excelentes en procesamiento de señales, teoría de control y dinámica de fluidos. Una vez más, probar convergencia es el nombre del juego aquí: debe demostrarse que una suma adecuada de estas funciones básicas converge a los valores de función en dominios acotados.
3. Análisis complejo: este es un campo importante por derecho propio que combina elementos de los dos primeros campos discutidos anteriormente. El teorema de los residuos es un elemento crítico aquí; Proporciona una forma de integrar funciones complicadas que no pueden integrarse explícitamente utilizando otros métodos analíticos.

Todos estos campos son muy interesantes y muy difíciles de comprender al principio. Personalmente, encuentro que hay tanta creatividad como las matemáticas reales en el trabajo en los tres.

Answer 3

Varía de una universidad a otra, pero generalmente se puede ver un sentido general de los temas cubiertos a través de la lista de temas de AP Calculus BC:

1. Límites
2. Derivados

• Derivadas de funciones vectoriales, funciones paramétricas y funciones expresadas en coordenadas polares.
• Análisis de gráficos polares utilizando derivados.
• Velocidad, velocidad y aceleración para funciones vectoriales o paramétricas.
• El método de Euler.

3. Integrales

• Integrales impropias.
• Integración por partes y el método de fracciones parciales.
• Desplazamiento, distancia y posición de una partícula que se mueve de acuerdo con una función paramétrica o con valor vectorial.
• Áreas delimitadas por curvas polares.
• Longitud de una curva paramétrica.
• Modelo de crecimiento logístico.

4. Secuencias y series

• Convergencia y divergencia.
• Series comunes como la serie p , series geométricas y series armónicas.
• Convergencia absoluta versus condicional.
• Polinomios de Taylor y aproximación.
• Error de Lagrange vinculado.
• Serie de Taylor y serie de poder.
• Radio e intervalo de convergencia.

Los límites no son un tema tan extenso cubierto, y generalmente incluye la sustitución directa o la regla de L’Hopital para resolver problemas con ellos en la prueba AP. Los límites son más una parte conceptual del cálculo para pasar a derivados y de derivados a integrales.

Fuente:

¿Qué temas se encuentran en el examen AP Calculus BC? – Blog de la escuela secundaria Magoosh

Answer 4

El “cálculo avanzado” no es un tema estándar. Solo puedo dirigirme a mi universidad, que es básicamente una clase que prueba rigurosamente todos los teoremas e ideas del cálculo regular.

Se proporciona la descripción más detallada del curso:

Matemáticas 451 – Cálculo avanzado I

Prerrequisitos: Una comprensión profunda de Cálculo y uno de 217, 312, 412, o permiso del instructor Frecuencia: Otoño (I), Invierno (II), Primavera (IIIa)

Cuerpo estudiantil: mitad concentradores de pregrado en matemáticas, mitad estudiantes de posgrado en ciencias e ingeniería

Crédito: 3 créditos.

Sin crédito después de 351.

Textos recientes: Análisis elemental: La teoría del cálculo por K. Ross Área: Análisis

Antecedentes y objetivos: este curso tiene dos objetivos complementarios: (1) un desarrollo riguroso de las ideas fundamentales del cálculo, y (2) un mayor desarrollo de la capacidad del estudiante para lidiar con las matemáticas abstractas y las pruebas matemáticas. Las palabras clave aquí son “rigor” y “prueba”; casi todo el material del curso está orientado a comprender y construir definiciones, teoremas (proposiciones, lemas, etc.) y pruebas. Este es considerado uno de los cursos de matemáticas de pregrado más difíciles, y los estudiantes deben estar preparados para hacer un fuerte compromiso con el curso. En particular, se recomienda encarecidamente tomar algún curso que requiera pruebas (como Math 412) antes de Math 451.

Contenido: Los temas cubiertos incluyen: lógica y técnicas de pruebas; conjuntos, funciones y relaciones; cardinalidad el sistema de números reales y su topología; secuencias infinitas, límites y continuidad; diferenciación; integración, el teorema fundamental del cálculo, series infinitas; secuencias y series de funciones.

Alternativas: Realmente no hay otro curso que cubra el material de Math 451. Aunque Math 450 es un requisito previo alternativo para algunos cursos, el énfasis de los dos cursos es bastante distinto. Matemáticas 351 cubre temas similares.

Cursos posteriores: La secuela natural de Math 451 es 452, que extiende las ideas consideradas aquí a funciones de varias variables. En cierto sentido, Math 451 trata la teoría detrás de Math 115-116, mientras que Math 452 hace lo mismo para Math 215 y una parte de Math 216. Math 451 también es un requisito previo para varios otros cursos: Math 575, Math 590, Math 596 y Matemáticas 597.

Answer 5

Bueno, por lo general, en mi experiencia, se supone que el cálculo avanzado es el cálculo de varias variables o el cálculo de variaciones. Por lo general, cubre multiplicadores de Lagrange, derivadas parciales, matrices jacobianas, la matriz de Hesse, cambio de coordenadas, álgebra lineal introductoria, métodos variacionales y, para rematar, generalmente algunos tensores introductores. El curso de Cálculo avanzado a menudo se deja intencionalmente vago. Por lo general, significa el resto del cálculo después del cálculo multivariable. Sé que en mi universidad el curso de Cálculo Avanzado cambió de ser un curso Multivariable un poco más riguroso a ser un curso completamente más diferente.

Answer 6

Supongo que este es el nivel de la escuela secundaria, ya que las universidades solo usan Cal 1, 2, 3 y tal vez incluso 4. También supongo que el cálculo avanzado sería básicamente Cal 2 o un curso AP en Cal 1.

Si es Cal 2, entonces es probable que cubras un montón de técnicas integrales, series, coordenadas polares, elipses, parábolas en profundidad e hipérbolas. Eso es todo para Cal 2. El tema más importante sería Serie.

Si es Cal 1, cubrirá los límites, las derivadas, la estimación del área bajo una curva y la integración. Todo lo que aprendas será importante básicamente en Cal 1.