El cálculo integral implica sumar porciones infinitesimalmente pequeñas de cualquier expresión matemática para descubrir el área bajo la curva o, más generalmente, la siguiente dimensión más alta.
Por ejemplo, puede integrar puntos (dimensión 0) para encontrar una curva lineal (dim 1), o integrar una expresión lineal para descubrir el área (dim 2) o integrar el área para encontrar el volumen (dim 3).
Puede decir por qué necesitamos integración cuando las fórmulas están fácilmente disponibles para averiguar la longitud, las áreas y los volúmenes. La existencia misma de estas fórmulas fácilmente se basa en el cálculo integral. Científicos, físicos y matemáticos a lo largo de los siglos han ideado estas fórmulas utilizando el cálculo integral inventado por Sir Isaac Newton.
Ahora veamos algunos detalles técnicos.
Algo interesante se desprende de mi primera declaración aquí. Es eso, ¿por qué necesitamos cortar o dividir una curva o área en porciones infinitesimalmente pequeñas y luego unirlas? La razón es que las expresiones matemáticas pueden asumir una miríada de formas y formas y sumarlas usando expresiones se vuelve imposiblemente difícil.
Entonces, ¿qué se debe hacer para resolver eso? Los científicos pensaron que era mejor hacerlo visualmente usando gráficos. Dividieron el gráfico de una expresión en pequeñas rendijas de forma rectangular. [Vea las rendijas estrechas en las figuras adjuntas a continuación.]
El área de cada una de estas rendijas sería el área de un rectángulo = ancho * alto. La altura de cada hendidura estaría dada por el valor de la expresión en ese punto X, y el ancho sería una porción infinitamente pequeña de X definida por una expresión llamada “dX” (“d” significa infinitamente pequeño).
Cuando sumas estos rectángulos juntos, puedes encontrar el área de la curva. Es por eso que en cada expresión integral encontrarás ∫Y.dX donde Y es la altura de cada rectángulo y dX es su ancho. Y.dX es, por lo tanto, el área del rectángulo y el símbolo shows muestra que estamos sumando las áreas de todos los rectángulos.
Ahora que hemos definido el cálculo integral, veamos por qué dX o el ancho de cada rectángulo tiene que ser lo más pequeño y lo más cercano posible a 0. En las imágenes a continuación, tenga en cuenta que si hace que las rendijas sean más grandes, las porciones blancas “sobrantes” se agrandan y el área que hemos sumado tiene mayores errores. Si hacemos las ranuras lo más estrechas posible (tendiendo a 0), los errores se reducen al mínimo. Es por eso que dX es infinitesimalmente pequeño.
Tomemos ahora un par de ejemplos simples y veamos el poder de la integración.
1) Primero, tomemos un círculo simple con radio “R”. Todos sabemos que la circunferencia o perímetro del círculo es 2πR. Si sumamos las circunferencias de todos los círculos concéntricos posibles con un radio que varía de 0 a R, podemos encontrar su área, ¿no? intente visualizarlo con un círculo que aumenta en radio de 0 a R.
Ahora, sumaremos anillos concéntricos estrechos en el círculo, con cada anillo de ancho infinitesimalmente pequeño “dR”. Tenga en cuenta que 2π * R * dR es el ancho de cada pequeño anillo delgado. Haremos este resumen con integración.
Área del círculo = ∫ (ancho de cada anillo) => ∫2πR * dR de 0 a R => πR
Por lo tanto, hemos demostrado que el área del círculo es π * R * R 🙂
