Sí, de hecho lo hay.
Recuerde que [math] \ left \ langle n \ atop r \ right \ rangle [/ math] con [math] 1 \ le r \ le n [/ math] es el número de permutaciones de [math] [n] [/ matemática] con exactamente [matemática] r-1 [/ matemática] descensos, de modo que, por ejemplo, si [matemática] n = 8 [/ matemática] y [matemática] r = 4 [/ matemática] entonces una permutación contada por [matemática ] \ left \ langle 8 \ top 4 \ right \ rangle [/ math] es
[math] \ begin {array} {cccccccccc} 8 y 4 y 6 y 3 y 5 y 1 y 2 y 7 \ end {array} \ tag * {} [/ math]
porque tiene 3 descensos: uno entre 8 y 4, uno entre 6 y 3 y uno entre 5 y 1.
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Como se puede ver en el ejemplo: donde no hay un descenso hay una carrera ascendente. En este caso, las carreras ascendentes son 8, 46, 35 y 127. Por lo tanto, podemos mostrar más claramente los descensos con [math] \ downarrow [/ math] como en nuestro ejemplo [math] 8 \ downarrow 46 \ downarrow 35 \ downarrow 127 [/ matemáticas].
Así que estamos interesados en estos objetos formados a partir de permutaciones y [math] \ downarrow [/ math] ‘s. Los llamaremos ‘permutaciones marcadas’ y permitiremos que [math] \ downarrow [/ math] ‘s tome cualquier posición, no solo en posiciones de descenso.
El conjunto de todas las permutaciones marcadas con [matemáticas] r-1 [/ matemáticas] [math] \ downarrow [/ math] ‘s es [math] \ xi [/ math] y tiene:
[matemáticas] | \ xi | = r ^ n \ tag * {} [/ math]
porque cada uno de los números [math] n [/ math] se puede colocar en uno de los espacios [math] r [/ math] entre [math] r-1 [/ math] [math] \ downarrow [/ math] ‘s y luego ordenó entrar en carreras ascendentes.
Llame a “posición [matemática] k [/ matemática]” la [matemática] k ^ {\ text {th}} [/ matemática] de los intersticios [matemática] n + 1 [/ matemática] (incluidos los espacios finales) de una permutación de [matemáticas] [n] [/ matemáticas].
Ahora forme los conjuntos [math] A_k [/ math] ([math] k = 1, \ ldots, n + 1 [/ math]) de permutaciones marcadas con al menos 1 [math] \ downarrow [/ math] colocado incorrectamente en posición [matemáticas] k [/ matemáticas]. Es decir, [math] 1 \ downarrow 2 [/ math] está incorrectamente colocado como es uno de los [math] \ downarrow [/ math] en [math] 2 \ downarrow \ downarrow 1 [/ math] como es un [math ] \ downarrow [/ math] en la posición [math] 1 [/ math] o [math] n + 1 [/ math] ya que ninguno de estos únicamente marca un descenso.
Claramente:
[matemáticas] | A_ {k_1} \ cap \ cdots \ cap A_ {k_i} | = (ri) ^ n \ tag * {} [/ matemáticas]
ya que si [math] i [/ math] [math] \ downarrow [/ math] ‘s están colocados incorrectamente, entonces quedan [math] ri-1 [/ math] [math] \ downarrow [/ math]’ s con [math] ri [/ math] espacios en los que ordenar los enteros [math] n [/ math] en la mayoría de las carreras ascendentes [math] ri [/ math]. Para mayor coherencia, nombremos [matemáticas] A_ {k_1} \ cap \ cdots \ cap A_ {k_i} = \ xi [/ matemáticas] cuando [matemáticas] i = 0 [/ matemáticas].
Por inclusión-exclusión [1] el número de permutaciones de [matemática] n [/ matemática] con [matemática] r-1 [/ matemática] descensos es el número de permutaciones marcadas de [matemática] n [/ matemática] con [matemática ] r-1 [/ math] [math] \ downarrow [/ math] ‘s que no pertenecen a ninguno de los conjuntos [math] A_k [/ math]. Dando:
[matemáticas] \ begin {align} \ left \ langle n \ atop r \ right \ rangle & = \ sum_ {i = 0} ^ {r-1} (- 1) ^ i \ binom {n + 1} {i} | A_ {k_1} \ cap \ cdots \ cap A_ {k_i} | \\ & = \ sum_ {i = 0} ^ {r} (- 1) ^ i \ binom {n + 1} {i} (ri) ^ n \ tag {Answer} \ end {align} [/ math]
El crédito por esto se atribuye al texto ‘Combinatorics of Permutations’ [2] por Miklós Bóna, quien él mismo atribuye crédito a Richard Stanley y Hugh Thomas, quien propuso pruebas similares en la 15a.
Notas al pie
[1] Principio de inclusión-exclusión – Wikipedia
[2] Combinatoria de permutaciones, segunda edición
