¿Cuál es el “próximo cálculo”, es decir, si hay uno, su análogo del siglo XXI?

Answer 1

Como alguien profundamente metido en los lenguajes de programación, soy totalmente parcial, pero creo que son pruebas verificadas por computadora . Hacer que las computadoras verifiquen las pruebas de los matemáticos nos da un nivel de confianza mucho mayor que el que tenemos ahora. También obligan a los matemáticos a basar completamente todas sus abstracciones en la lógica fundamental: no se permiten atajos desordenados.

Por eso nunca se han dado cuenta. ¡Pero lo harán!

Hay barreras tecnológicas en el camino. Las herramientas existentes son incómodas y difíciles de aprender, incluso antes de comprender y utilizar su lógica subyacente. Los mensajes de error son crípticos, los lenguajes de programación involucrados son complicados con sus propias sintaxis y peculiaridades particulares, y las herramientas exponen todo tipo de detalles no relacionados con las matemáticas (es decir, tácticas).

Pero estos son solo una cuestión de hacer algo de trabajo, trabajo que realmente se está haciendo. Incluso si las matemáticas subyacentes no cambian, los asistentes de prueba serán más fáciles de aprender con el tiempo. (No menos importante, tendremos mejores libros y materiales de aprendizaje para ellos).

También hay barreras sociales. Los matemáticos, especialmente los mayores, no quieren cambiar lo que están haciendo. Algunos simplemente no confían en la computadora: la prueba altamente automatizada del teorema de los cuatro colores fue controvertida durante mucho tiempo. Quizás todavía lo sea. ¿Y cómo sabemos que estas herramientas son buenas de todos modos? (No lo hacemos, ¡pero es más fácil verificar el pequeño núcleo lógico de un comprobador de teoremas que verificar todas las pruebas en general!)

Al igual que muchos problemas sociales anteriores, se resolverá esperando a que mueran las personas adecuadas.

Y finalmente, podría ser una cuestión de encontrar la teoría subyacente correcta. Los asistentes de pruebas actuales se basan en varias teorías de tipos que son excelentes para ciertas aplicaciones (teoría del lenguaje de programación whoo) pero que carecen de otras. En cierto sentido, tienen un nivel demasiado bajo , al igual que el ensamblaje es un nivel demasiado bajo para los programadores modernos.

Por lo tanto, podría tomar un cambio fundamental en la lógica y la teoría de tipos para poner en marcha el tren de verificación por computadora.

Y, si se cree en las partes interesadas, este cambio se está desarrollando: la teoría del tipo de homotopía promete proporcionar una base para la lógica formal que opera a un nivel lo suficientemente alto como para ser útil para todo tipo de matemáticas.

Es una teoría que se está desarrollando de una manera notablemente moderna, más cercana a un proyecto de código abierto que a la investigación matemática tradicional. Tiene su propio sitio web y una cuenta de GitHub con la fuente de su libro y no una sino dos pruebas verificadas por computadora como acompañantes, una en Coq y otra en Agda.

La mayor parte de esto no es relevante para las matemáticas involucradas. Pero todas las revoluciones son sociales en su corazón, y esta organización de proyectos es socialmente revolucionaria. (Al menos para la investigación matemática clásica).

Entonces, si tuviera que elegir una sola idea para la revolución, sería la teoría del tipo de homotopía. Y no soy el único.

Answer 2

Creo que ha habido varias revoluciones de este tipo en el siglo XX, y si bien hay ejemplos más recientes (como la teoría de categorías, que ya está un poco anticuada) que la que daré, no creo que haya ninguno. tan notablemente fundamental como la revolución que fue la teoría de conjuntos axiomática.

La teoría de conjuntos tardó un tiempo en acertar. Se remonta a la obra de Georg Cantor en el siglo XIX, pero finalmente se pulió y se completó a principios del siglo XX.

La pregunta básica era esta: ¿cómo podemos establecer un sistema lógico mediante el cual podamos derivar todos los teoremas de las matemáticas, de una manera esencialmente mecánica? ¿Qué podemos decir sobre tal sistema? ¿Es posible que este sistema demuestre su propia consistencia? (Es decir, ¿podemos demostrar, en este sistema, que ninguno de los supuestos esenciales de nuestro sistema, los axiomas, se contradicen entre sí?)

Kurt Gödel demostró que el último requisito es imposible de cumplir, al demostrar sus teoremas de incompletitud en 1931. Sin embargo, Zermelo y Frankel resolvieron el problema de elegir axiomas fundamentales en los que basar todas las matemáticas en 1920.

Los axiomas de ZFC ahora forman la base fundamental de las matemáticas. Puede que los físicos aún no tengan una teoría unificada de todo, pero los matemáticos sí.

Answer 3

Entonces, ¿qué tiene de especial el cálculo que lo convirtió en el motor del cambio revolucionario? Integración y diferenciación. Teníamos todas las matemáticas que conducen al cálculo, pero las respuestas que pudimos calcular se detuvieron con un solo resultado; responde a preguntas como, ¿cuál es la velocidad de este planeta en ese punto de su órbita? Antes del cálculo, lo que no podríamos hacer bien es responder preguntas como: ¿cuál es el área debajo de la curva o, dado este perfil de velocidad, cuál es la aceleración máxima vista?

La próxima gran cosa en matemáticas tendrá que proporcionar respuestas a preguntas que no podemos resolver, al menos no fácilmente, hoy. Considere este paralelo desde la formación del concepto. Incluso después de que un antiguo hombre de las cavernas nos dio nuestras primeras palabras para nombrar no solo cosas específicas sino también tipos de cosas (antílopes, rocas, niños), un Newton distante en la formación de conceptos tuvo que extender el patrón de integración y diferenciación involucrado en la formación de conceptos básicos para darnos abstracción de abstracciones: animales, minerales, personas y, más tarde, entidades y atributos. La revolución posterior a Newton que está buscando, pero en la formación de conceptos, se produjo cuando alguien se dio cuenta de que también podía abstraer estados mentales: feliz, triste, centrarse, pensar, sentir y, más tarde, racional, emocional, con propósito, valores. Esto es lo que debe hacer la próxima gran cosa en matemáticas.

Tengo una idea de dónde vendrá esta revolución, pero solo puedo esbozar su esquema porque no veo la solución que aún no se ha creado. Una pregunta interesante para la que no tenemos respuesta es: ¿cómo trabaja con conjuntos de datos realmente grandes? Tome, por ejemplo, un dedal lleno de agua (25 ml) o su bebida favorita que desee rastrear la ubicación y la velocidad (incluida la dirección) de cada molécula y calcule dónde estarán después de 100 pasos de tiempo. Si toma el número de moléculas multiplicado por la ubicación en tres dimensiones con suficientes bits para mantener cada molécula en ubicaciones separadas e incluye la velocidad con una precisión razonable, tiene cientos de miles de petabytes de datos para una sola instantánea de cada molécula. ¿Cómo extrae esos datos, calcula cómo rebotan esas moléculas y registra los resultados para cada paso de tiempo? Actualmente no tenemos forma de resolver este tipo de problemas, incluso utilizando la fuerza bruta con muchos procesadores. Las computadoras serán más rápidas, pero estoy dando una forma simple del problema: ¿qué pasaría si el problema fuera cada átomo en una sola estrella de tamaño promedio como nuestro sol? Lo que necesitamos es un método matemático que nos permita tomar toda esta complejidad y reducirla a ecuaciones mucho más simples con las que podamos trabajar.

Answer 4

El CTMU (Modelo Cognitivo-Teórico del Universo). Basado en una estructura matemática poderosa, altamente sofisticada y única, es una forma de vincular formalismos matemáticos con sus contenidos (las cosas que los modelan de varias maneras). Ha estado allí por alrededor de treinta (30) años. Su autor fue presentado en el cambio de milenio como “el hombre más inteligente de América / el mundo” en todas las principales cadenas de televisión de Estados Unidos, junto con muchos otros medios de comunicación importantes en el extranjero. Nunca ha sido desafiado con éxito.

Lamentablemente, para aquellos que dependen de la Academia para obtener una visión matemática y empírica-científica, el interés académico en la CTMU sigue siendo mínimo o inexistente. No es que la Academia tenga algo mejor o más importante o útil para concentrarse; es solo que la Academia se ha corporativizado, ha establecido un monopolio virtual sobre la comunicación científica y el comercio intelectual, y ya no tiene ningún incentivo para recibir contribuciones de fuentes externas.

Answer 5

Yo diría que esta no es una predicción fácil … así que tal vez algunas conjeturas … o más apropiado, algunas conjeturas educadas …
Entonces, mi suposición sería: “Análisis no suave”
En este momento, el “Análisis no suave” se parece más a “un área de interés” e implica muchos tecnicismos, pero al menos toca un punto hecho por Tikhon Jelvis, a saber, el uso de la computadora.
Pero simplemente hacer pruebas por computadora es demasiado “lineal” … supongo que la evolución estará en torno a los problemas que la computadora no puede resolver (o al menos no se pueden resolver en este momento).
Como Senia Sheydvasser, también mencionaría a Kurt Godel cuando diga que para cualquier disciplina es importante saber lo que no pueden resolver … En este momento hay una sensación general de que las computadoras pueden resolver todo, y creo que esto es una prueba de la infancia … 🙂
Por ejemplo, las computadoras (y el software) no pueden hacer frente a las discusiones sobre los parámetros de algunas ecuaciones (u otros objetos). Resulta que esta es una línea de estudio que comenzó a ser cubierta por Nonsmooth Analysis …

Answer 6

Estoy de acuerdo con Ariel, pero en general, las estructuras algebraicas serán la próxima gran novedad en matemáticas. Grupos, campos, anillos, extensiones en la teoría de la representación son todas las cosas que uso en mi área matemática aplicada. El alto rendimiento y la computación numérica utilizan estas ideas increíblemente, así como la física como se mencionó anteriormente. También debo decir que estos no están excluidos del análisis y la topología y creo que el análisis armónico también es increíblemente útil para la ingeniería que utiliza los tres.

Answer 7

Daré un saludo a un área que tiene algunos paralelos con el cálculo: integración funcional o de ruta. Recordemos que el cálculo fue inventado por personas que intentaban resolver un problema de física. Del mismo modo, se inventaron las integrales de ruta para resolver problemas de física. Se tardó hasta mediados y finales del siglo XIX para que el cálculo finalmente fuera matemáticamente riguroso, y las integrales de la ruta aún se consideran carentes de rigor matemático, excepto en algunos casos especiales. Sostengo que si nos fijamos en los tipos de problemas que plantean las integrales del camino, pueden ser tan interesantes como los del análisis convencional.