Cómo hacer pruebas matemáticas (es decir, álgebra lineal)

¡Hola a todos!
Bueno, primero recomendaría leer al menos la introducción dada por wikipedia sobre lo que es una prueba matemática. En una prueba, como dice el artículo, debe argumentar a favor de una declaración matemática, que se supone que es cierta. Entonces, el verdadero negocio es si sus argumentos son convincentes o no. Para tener un argumento fuerte, puede hacer uso de definiciones, axiomas, teoremas y lemas, todos ellos vinculados por algún nivel de razonamiento lógico.

Me gusta pensar que hay principalmente tres pasos para demostrar que algo es verdad.

La primera parte sería tener una intuición de la verdad matemática que está tratando de probar, comprender qué cosas se relacionan y de qué manera las relaciona. Intenta ver cómo están sucediendo las cosas. Si no comprende los objetos o verdades que relaciona, haga todo lo posible por comprenderlos.

La segunda parte sería resumir brevemente los pasos que tiene la intención de hacer la prueba. Haga un camino mental entre los teoremas, propiedades, axiomas, etc. que lo conducirán al resultado (si no puede hacerlo en su cabeza, entonces haga un bosquejo) … Estos pasos se verán más fácilmente cuanto más intuición y conocimiento que tiene sobre la verdad que está probando (depende de la primera parte).

Entonces finalmente vas a hacer el movimiento. La tercera parte sería la ejecución técnica de la prueba … En esta parte, deberá utilizar el lenguaje matemático. Deberá organizar los pasos que mentalizó anteriormente, verificarlos y aclararlos al lector (podría ser su maestro u otro matemático). La fluidez en el lenguaje matemático juega un papel importante en esta parte. ¡Cuanto más estés acostumbrado, más fácil será poner tus ideas en el papel! Utilice expresiones lógicas: “Deje que X sea ‘algo’ …”, “Entonces, si X es ‘algo’, tenemos Y.”, “Tome X tal que ‘algo’ …”, “Verificó fácilmente que X satisface Y “, etc. Debe hacer afirmaciones precisas, siempre siguiendo los pasos mentales que había preparado.

Estos tres pasos para mí son los fundamentos para hacer una prueba.

PD: Me di cuenta de que cuando estás leyendo una prueba, se revierten en orden: comienzas con la interpretación del lenguaje y llegas hasta la intuición.

Un consejo útil sería: ¡Lea todas las pruebas que pueda, le ayuda a ver el razonamiento lógico y el lenguaje utilizado!

Espero haber ayudado!

(Tenga en cuenta que al momento de escribir, la pregunta dice “¿Cómo hago pruebas matemáticas (es decir, álgebra lineal)?”)

Normalmente editaba esta pregunta, insertaba la palabra que faltaba y luego respondía la pregunta que claramente se estaba haciendo; sin embargo, en este caso, el verbo que falta brinda la oportunidad de hablar sobre algo que causa mucha dificultad a muchos estudiantes de matemáticas en el primer curso o dos, donde se espera que hagan matemáticas reales y no solo cálculos. A saber, la diferencia entre descubrir un argumento y escribirlo de una manera legible y estándar que otros puedan entender.

En realidad, este no es un problema exclusivo de las matemáticas: en cualquier curso (u otro contexto) en el que uno necesita hacer una escritura persuasiva, obtener una buena escritura en la página es un problema separado de obtener un argumento válido en la escritura. Desafortunadamente, tanto dentro como fuera de las matemáticas, ¡el enfoque tiende a centrarse más en lo primero! La persona que califica su ensayo de escritura persuasiva probablemente gastará más tinta roja en su gramática, sintaxis, construcciones incómodas y distracción en el discurso figurativo, y puede escribir “esto no sigue” cuando da un salto lógico. Es decir, esperarán que usted ya conozca las conexiones lógicas entre ideas.

Ahora, en un contexto de escritura en inglés, esto se ajusta de alguna manera al proceso de escritura de muchas personas: muchas veces, cuando nos enfrentamos a un aviso, ni siquiera sabemos de qué lado de la pregunta hablaremos, y mucho menos qué argumento tenemos ‘ solía persuadir a alguien más. Descubrimos esto al sentarnos y escribir un borrador, la mayoría de los cuales termina siendo inutilizable, pero proporciona materia prima para nuestro argumento final real. Escribimos un reclamo que creemos que recordamos vagamente, tratamos de buscar una referencia, descubrimos que habíamos entendido mal los hechos, ajustamos el reclamo, insertamos la referencia, nos damos cuenta de que los hechos ahora no respaldan nuestra posición también como pensamos que lo hicieron, tal vez deberíamos reformular lo que estamos discutiendo, no, todavía creemos que podemos persuadir a alguien de esto, etc.

Con todo esto en mente, mi primer instinto fue completar la pregunta para leer “¿Cómo escribo pruebas matemáticas?”. Y, para estar seguros, ¡la gramática, la sintaxis y las exigencias estilísticas de las pruebas de escritura no son triviales! Y la mejor manera de aprender estas cosas es leyendo ejemplos de una excelente prueba de escritura (así como la mejor manera de obtener una buena escritura en inglés es leer una excelente escritura en inglés).

Pero un momento de reflexión me hizo darme cuenta de que la dificultad del interrogador puede ser la otra: “¿Cómo descubro las pruebas matemáticas?” Y esta es una pregunta profunda y sutil, empeorada por el hecho de que, hasta ahora, el interrogador solo ha tenido la experiencia de problemas matemáticos donde existe un procedimiento definido para que lo lleven a cabo.

Las pruebas no son así. No existe un algoritmo para probar declaraciones. Hay muchos consejos heurísticos que se pueden dar, muchos trucos y patrones, pero ninguna respuesta maestra a “¿cómo?”. (La primera heurística es: su profesor o libro de texto le está pidiendo que pruebe esta afirmación por una razón. El teorema o su prueba están de alguna manera relacionados con las ideas que aprendió más recientemente. Úselos.) Pero en general, lo primero que usted debe cambiar usted mismo: de alguien que hace lo que se le dice (en el sentido de seguir solo los pasos) a alguien que sale y explora.