¿Qué es el teorema de Euler y cómo lo usamos en matemáticas prácticas?

Answer 1

Entonces, ésta es la cuestión. Euler escribió muchos teoremas. Era increíblemente inteligente y promovió varios campos de las matemáticas a pasos agigantados en su vida. También inventó / fundó otros campos de las matemáticas. Casi todos los campos de las matemáticas tienen su propio “Teorema de Euler”. Es una broma común entre los estudiantes de pregrado que si no sabes la respuesta a una pregunta, solo puedes citar el “Teorema de Euler”.

Puede que este no sea el teorema de Euler más importante, pero creo que es genial. Este ejemplo proviene de la teoría de grafos, y es un ejemplo de uno de los campos de las matemáticas que fundó Euler. Afirma:

Lo siguiente vale para los gráficos conectados:

1. Si el gráfico no tiene vértices impares, entonces existe un circuito de Euler
2. Si el gráfico tiene exactamente dos vértices impares, entonces existe un camino de Euler. Además, el camino de Euler comienza en uno de los vértices impares y termina en el otro
3. Si el gráfico tiene más de dos vértices impares, entonces no hay caminos de Euler o circuitos de Euler en el gráfico

Solo como referencia, una ruta de Euler es una lista de vértices en un gráfico y los bordes entre ellos, de modo que cada borde en el gráfico se usa exactamente una vez. Un circuito de Euler es el mismo, pero el vértice inicial es el mismo que el vértice final. Un ejemplo:

En el gráfico anterior, los vértices A y D son impares: cada uno es parte de tres bordes del gráfico, es decir, cada uno tiene un grado tres. Los vértices B y C son pares, B tiene grado 2, C tiene grado 4. Por lo tanto, el teorema de Euler establece que hay un camino de Euler que comienza en A o D, y termina en el otro vértice impar. En efecto,

A, C, D, B, A, C, D es un camino de Euler. He etiquetado los bordes de esta ruta en el siguiente orden

Algunos ejemplos de preguntas donde el teorema de Euler es útil:

• Desea conducir un autobús turístico por la ciudad de Nueva York. ¿Hay un circuito de autobuses que recorre cada calle exactamente una vez?
• Nieva en un campus universitario. ¿Hay alguna manera de conducir el quitanieves por cada calle para que el quitanieves no tenga que conducir por una calle que ya está limpia de nieve?

El teorema de Euler le permite responder a estas preguntas sin tener que encontrar realmente una ruta o circuito de Euler.

Llamamos a este tipo de caminos caminos de Euler ya que él fue quien los inventó, y escribió los primeros documentos sobre teoría de grafos, y esencialmente fundó el campo.

Cliff Stoll ofrece una excelente descripción de este famoso problema de los “7 puentes” que sirve de inspiración original para todo esto aquí:

Si desea hacer sus propios gráficos, el sitio web que utilicé para hacer las imágenes de arriba se puede encontrar aquí: http://illuminations.nctm.org/Ac…

Answer 2

El teorema de Euler es una generalización del pequeño teorema de Fermat que se ocupa de las potencias de los enteros módulos enteros positivos. Surge en aplicaciones de la teoría de números elementales, incluida la base teórica para el criptosistema RSA.

Answer 3

El teorema de Euler se utiliza para simplificar el cálculo de los restos de números de la forma [matemática] a ^ m [/ matemática]

La tarea de calcular [math] a ^ m (\ text {mod} n) [/ math] se simplifica para calcular [math] m (\ text {mod} \ varphi (n)) [/ math]

Esta es una tarea mucho más simple y es útil para el cálculo de los residuos en general. Más específicamente, forma la base del cifrado RSA, que se usa en todas partes.

La [matemática] \ varphi (n) [/ matemática] que mencioné anteriormente es la función totient de Euler. Es el número de números que son menores que [matemática] n [/ matemática] y relativamente primos a [matemática] n [/ matemática]

El cálculo de los valores de la función implica la factorización prima, y ​​la dificultad en los números grandes de factorización principal lo convierte en un buen sistema de cifrado.

Answer 4

No sé exactamente de qué teorema de Euler estás hablando, ya sea una identidad de Euler o un teorema de la teoría de números. Sin embargo, me gustaría arrojar luz sobre ambos si ellos.

El teorema de Euler en número complejo es e potencia I theta = costhetha + isintheta. Esta fórmula conduce a la identidad de Euler e potencia I pi = -1.
En esta fórmula aparecen muchas ramas de la física y la ingeniería.

Además, el teorema de Euler en teoría de números es una potencia f (n) = 1 (modo n), donde a y n son números coprimos. Este teorema se usa ampliamente en la teoría de grupos que tiene una aplicación en la mecánica cuántica.