Tengo que estar de acuerdo con las respuestas dadas, pero tengo una opinión ligeramente diferente. Para mí, incluso el cálculo “elemental” está basado en pruebas. Si bien atravesar los límites, la continuidad, el Teorema del valor intermedio, el Teorema de Rolle, el Teorema del valor medio y, finalmente, el Teorema fundamental del cálculo pueden ser abrumadoramente aburridos para el ingenuo recién llegado: el desarrollo aquí está “basado en pruebas”. La única fuente que sé que omite todo el “¿Esto estará en el examen? ¿Por qué tenemos que saber esto? ”Es el“ cálculo fácil ”de Thompson. Y enfáticamente NO lo recomiendo para aprender cálculo. (Me retrasó probablemente un año al hacer que el cálculo pareciera ser una extensión directa de álgebra (y trigonometría).
No es.
Trig y álgebra (especialmente álgebra) son herramientas absolutamente esenciales para el éxito en el cálculo. Como herramientas!
Las presentaciones de “cálculo elemental” se denigran como “justificaciones” en lugar de pruebas. Ahora tengo un pequeño problema con eso. Estas “justificaciones” generalmente se parecen mucho a las pruebas para mí. La regla del producto, por ejemplo, ciertamente viene como un punto ciego cuando uno comienza a establecerse en las reglas de diferenciación, pero ¿cómo es su “justificación” diferente de una “prueba”? Todos los elementos están ahí. Es solo la presunción del intelecto matemático superior que un estudiante de primer año realmente no puede entender los puntos finos del desarrollo de una fórmula básica …
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Para mí, el kilometraje puede diferir para los demás, la diferencia entre el cálculo “elemental” y el cálculo “avanzado” (y el Análisis Real de seguimiento) no tiene mucho que ver con la naturaleza de las “pruebas”. La diferencia está en mirar hacia atrás en los supuestos tácitos que uno hace. ¿Qué es, en realidad, un número real? Siempre ha sido una línea horizontal en una pizarra. No veo ninguna tiza en mi libro de cálculo …? Hay “problemas” más profundos con números que van desde el simple “conteo” (Goedel). Es una madriguera de conejo que no entraré aquí. (Tampoco estoy calificado aparte de lo que sé sobre la madriguera del conejo … Y me he aventurado lo suficiente como para saber que no es sorprendente que Goedel se haya vuelto loco).
El cálculo avanzado simplemente insiste en repasar las pruebas de cálculo elemental y verificar que realmente tienen sentido, señalando detalles que se pasaron por alto. ¿Cómo invalida eso las pruebas algo meras tristes de cálculo elemental? (¡Gawd! ¡He estado esperando durante décadas para usar esa palabra! Siempre pensé que la usaría en los políticos).
En resumen: tendería a comparar el horror de aprender cálculo con el horror anterior (para la mayoría) de encontrar geometría básica. Ambos requieren un desarrollo de “razonamiento” en lugar de “cálculos” que se pueden reducir a la memorización de memoria. (Por ejemplo, las personas que usan la fórmula cuadrática para resolver x ^ 2 – 1 = 0.) El álgebra y el trigonometraje ciertamente requieren razonamiento, pero el resultado final es en gran parte “vocabulario”. No puedes hacer matemáticas reales sin un vocabulario. Después de adquirir el vocabulario, no queda nada más que razón y exploración. Y si llegaste tan lejos, ¿por qué querrías algo más?