¿Cuánto más difícil es el cálculo basado en pruebas que el cálculo regular dado que no tengo experiencia previa en pruebas antes?

Tengo que estar de acuerdo con las respuestas dadas, pero tengo una opinión ligeramente diferente. Para mí, incluso el cálculo “elemental” está basado en pruebas. Si bien atravesar los límites, la continuidad, el Teorema del valor intermedio, el Teorema de Rolle, el Teorema del valor medio y, finalmente, el Teorema fundamental del cálculo pueden ser abrumadoramente aburridos para el ingenuo recién llegado: el desarrollo aquí está “basado en pruebas”. La única fuente que sé que omite todo el “¿Esto estará en el examen? ¿Por qué tenemos que saber esto? ”Es el“ cálculo fácil ”de Thompson. Y enfáticamente NO lo recomiendo para aprender cálculo. (Me retrasó probablemente un año al hacer que el cálculo pareciera ser una extensión directa de álgebra (y trigonometría).

No es.

Trig y álgebra (especialmente álgebra) son herramientas absolutamente esenciales para el éxito en el cálculo. Como herramientas!

Las presentaciones de “cálculo elemental” se denigran como “justificaciones” en lugar de pruebas. Ahora tengo un pequeño problema con eso. Estas “justificaciones” generalmente se parecen mucho a las pruebas para mí. La regla del producto, por ejemplo, ciertamente viene como un punto ciego cuando uno comienza a establecerse en las reglas de diferenciación, pero ¿cómo es su “justificación” diferente de una “prueba”? Todos los elementos están ahí. Es solo la presunción del intelecto matemático superior que un estudiante de primer año realmente no puede entender los puntos finos del desarrollo de una fórmula básica …

Para mí, el kilometraje puede diferir para los demás, la diferencia entre el cálculo “elemental” y el cálculo “avanzado” (y el Análisis Real de seguimiento) no tiene mucho que ver con la naturaleza de las “pruebas”. La diferencia está en mirar hacia atrás en los supuestos tácitos que uno hace. ¿Qué es, en realidad, un número real? Siempre ha sido una línea horizontal en una pizarra. No veo ninguna tiza en mi libro de cálculo …? Hay “problemas” más profundos con números que van desde el simple “conteo” (Goedel). Es una madriguera de conejo que no entraré aquí. (Tampoco estoy calificado aparte de lo que sé sobre la madriguera del conejo … Y me he aventurado lo suficiente como para saber que no es sorprendente que Goedel se haya vuelto loco).

El cálculo avanzado simplemente insiste en repasar las pruebas de cálculo elemental y verificar que realmente tienen sentido, señalando detalles que se pasaron por alto. ¿Cómo invalida eso las pruebas algo meras tristes de cálculo elemental? (¡Gawd! ¡He estado esperando durante décadas para usar esa palabra! Siempre pensé que la usaría en los políticos).

En resumen: tendería a comparar el horror de aprender cálculo con el horror anterior (para la mayoría) de encontrar geometría básica. Ambos requieren un desarrollo de “razonamiento” en lugar de “cálculos” que se pueden reducir a la memorización de memoria. (Por ejemplo, las personas que usan la fórmula cuadrática para resolver x ^ 2 – 1 = 0.) El álgebra y el trigonometraje ciertamente requieren razonamiento, pero el resultado final es en gran parte “vocabulario”. No puedes hacer matemáticas reales sin un vocabulario. Después de adquirir el vocabulario, no queda nada más que razón y exploración. Y si llegaste tan lejos, ¿por qué querrías algo más?

Diría que el cálculo basado en pruebas (o las matemáticas basadas en pruebas en general) es un concepto más fácil de entender que el Cálculo I por la sencilla razón de que se dedica más tiempo a responder los “porqués”.

Para un estudiante por primera vez, Cálculo I es un cambio completo en el pensamiento. En lugar de hablar de evaluar una función en un punto, estamos hablando de límites a medida que x se acerca a un punto, hablamos de abordar desde la izquierda y desde la derecha, luego derivadas e integrales y cómo calcularlas. Recuerdo que estaba tan abrumado con los conceptos y tratando de pasar las pruebas, así que básicamente estaba memorizando cosas. No creo haber entendido realmente las derivadas o las integrales cuando terminé el cálculo I, pero sabía cómo diferenciar / integrar polinomios, funciones trigonométricas, logaritmos, exponenciales, etc., para poder tener un buen rendimiento en mis pruebas.

Cuando estaba en Advanced Calculus, que era la versión del curso basada en la prueba, tenía un libro de Steven Lay llamado “Cálculo con una introducción a la prueba” y sigue siendo uno de mis libros de matemáticas favoritos porque me ayudó mucho. tranquilizando mi confianza en mi habilidad matemática. Pasamos mucho más tiempo en las definiciones y vimos por qué se hacen las cosas. Recuerdo la emoción que tuve cuando estudiamos secuencias y la sensación que tuve cuando obtuve el Teorema de Hiene-Borel (Una secuencia es compacta si y solo si está cerrada y limitada).

Digo esto mucho en mis respuestas, pero creo que mucho depende de tu maestro y aún más, de tus libros que utilizas como referencia. El libro de Lay, y más tarde el libro de Patrick Fitzpatrick, fueron excelentes para mí en este tema. Un profesor que sabía que estaba tomando este curso me recomendó su viejo libro para este curso y recuerdo que ni siquiera podía pasar algunas páginas antes de dejarlo y concluir que no me gustaba el estilo de ese escritor. Así que creo que esa es una pregunta más importante para estos dos cursos (Cálculo I y Cálculo avanzado).

Robert tiene razón. Varía de persona a persona. Pero yo diría que la versión basada en pruebas no es mucho más difícil. (He enseñado ambos). Realmente es la primera vez que un estudiante está expuesto a pruebas en la universidad. Así que todos los que lo están tomando están empezando. Nadie tiene más práctica que nadie. El campo de juego está nivelado. Y la versión basada en pruebas es muy interesante.

Pero si no tiene que tomar más matemáticas, la versión no segura está bien. Y verá más aplicaciones, lo que también es interesante.

Personalmente, proveniente de una formación en física, me resultó más difícil elaborar las pruebas que utilizar los propios teoremas. Sin embargo, este tipo de cosas difiere mucho de una persona a otra, por lo que realmente tendrá que averiguarlo usted mismo.