¿Cuál es la solución de este problema de ecuación cuadrática?

Answer 1

Comience tratando de encontrar una relación (simple) entre [math] | 2ax + b | [/ math] (la función que está intentando maximizar) y [math] | ax ^ 2 + bx + c | [/ math] (la función en la ecuación de restricción).

Tenga en cuenta que [math] | 2ax + b | [/ math] es máximo exactamente cuando [math] (2ax + b) ^ 2 [/ math] es máximo. La motivación para cuadrarla proviene de [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas] en la restricción.

[matemáticas] (2ax + b) ^ 2 = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + b ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = 4a (ax ^ 2 + bx) + b ^ 2 [/ matemáticas]

El término entre paréntesis está cerca de LHS de la restricción, excepto por una falta [matemática] c [/ matemática]. Sumar y restar [matemáticas] c [/ matemáticas]:

[matemáticas] (2ax + b) ^ 2 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) + b ^ 2 – 4ac [/ matemáticas]

Como [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ matemática] son ​​constantes, la RHS es máxima cuando [matemática] (ax ^ 2 + bx + c) [/ matemática] es máxima, para [matemática] a \ ge 0 [/ matemática], o mínima, para [matemática] a <0 [/ matemática]. De acuerdo con la restricción, los valores máximos y mínimos posibles de [matemática] (ax ^ 2 + bx + c) [/ matemática] son ​​[matemática] 1 [/ matemática] y [matemática] -1 [/ matemática]. Así , el valor máximo de la RHS es [matemática] 4a + b ^ 2 – 4ac [/ matemática] (para [matemática] a \ ge 0 [/ matemática]), y [matemática] -4a + b ^ 2 – 4ac [ / math] (para [math] a <0).

Por lo tanto, el valor máximo de [math] \ mathbf {| 2ax + b |} [/ math] es [math] \ mathbf {\ sqrt {4 | a | + b ^ 2 – 4ac}} [/ matemáticas].

Editar: Gracias a Rajesh Durgapal por señalar que [matemáticas] a [/ matemáticas] podría ser negativo. Respuesta actualizada en consecuencia.

Answer 2

La respuesta dada por Vinay Madhusudanan es verdadera solo para ‘a’ positiva. Para ‘a’ negativo, el valor calculado será un valor mínimo.
Para mostrar esto, consideremos el ejemplo cuando a = -1, b = 1 y c = 1.
La condición [matemáticas] | ax ^ 2 + bx + c | \ le 1 [/ math] se convertirá en [math] | -x ^ 2 + x + 1 | \ le 1 [/ matemáticas].
Los valores de x estarán en rangos [matemática] -1 \ le x \ le 0 [/ matemática] y [matemática] 1 \ le x \ le 2 [/ matemática]. El segundo rango para x no es consistente con [math] | x | \ le 1 [/ matemáticas]. Entonces el rango que es válido es [matemática] -1 \ le x \ le 0 [/ matemática].
El valor de [math] | 2ax + b | [/ math] será [math] | -2x +1 | [/ math] y será [math] 1 \ le | -2x + 1 | \ le 3 [/ matemáticas].
El valor máximo es 3, mientras que de la fórmula [math] \ sqrt {4a + b ^ 2 – 4ac} [/ math] da 1, que es el mínimo.